Ta có; BI=IK=KC

mà BI+IK+KC=BC

nên \(BI=IK=KC=\frac{BC}{3}\)

=>\(\frac{BI}{BD}=\frac13:\frac12=\frac23\)

=>BI=2ID

BI=2ID

=>\(S_{AIB}=2\cdot S_{AID};S_{MIB}=2\cdot S_{MID}\)

=>\(S_{AIB}-S_{MIB}=2\cdot\left(S_{AID}-S_{MID}\right)\)

=>\(S_{AMB}=2\cdot S_{AMD}\)

Ta có: FA=FB

=>\(S_{DFA}=S_{DFB};S_{MFA}=S_{MFB}\)

=>\(S_{DFA}-S_{MFA}=S_{DFB}-S_{MFB}\)

=>\(S_{DMA}=S_{DMB}\)

=>\(S_{AMB}=2\cdot S_{DMB}\)

mà \(S_{BMI}=\frac23\cdot S_{BMD}\)

nên \(\frac{S_{AMB}}{S_{BMI}}=2:\frac23=3\)

=>\(\frac{AM}{MI}=3\)

=>\(\frac{AM}{AI}=\frac34\)

Ta có: \(CK=\frac13CB;CD=\frac12CB\)

=>\(\frac{CK}{CD}=\frac13:\frac12=\frac23\)

=>\(CK=2\cdot KD\)

=>\(S_{AKC}=2\cdot S_{AKD};S_{NKC}=2\cdot S_{NKD}\)

=>\(S_{AKC}-S_{NKC}=2\cdot\left(S_{AKD}-S_{NKD}\right)\)

=>\(S_{ANC}=2\cdot S_{AND}\)

Ta có: EA=EC

=>\(S_{DEA}=S_{DEC};S_{NEA}=S_{NEC}\)

=>\(S_{DEA}-S_{NEA}=S_{DEC}-S_{NEC}\)

=>\(S_{DNA}=S_{DNC}\)

=>\(S_{ANC}=2\cdot S_{DNC}\)

mà \(S_{CKN}=\frac23\cdot S_{CND}\)

nên \(\frac{S_{CKN}}{S_{ANC}}=\frac23:2=\frac13\)

=>\(\frac{NK}{NA}=\frac13\)

=>AN=3NK

=>AK=AN+NK=4NK

=>AN/AK=3/4

Xét ΔAIK có \(\frac{AM}{AI}=\frac{AN}{AK}\left(=\frac34\right)\)

nên MN//IK

Giải

Ta thấy đường trung bình tam giác ABC nên BEDC là hình thang, lại có\(BM=MC\cdot DN=NC\Rightarrow MN\)   là đường trung bình hình thang BEDC hay MN ong song DE và BC. Lại dùng đường trung bình thì 

\(MI=KN=\frac{DE}{2}\left(1\right)\)

\(MN=\frac{DE^2+BC}{2}\Rightarrow IK=MN-2MI=\frac{DE+BC}{2}-DE\)

\(=\frac{BC-DE}{2}=\frac{DE^2}{2}\left(BC=2DE\right)\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow Q\cdot E\cdot D\Rightarrowđcpm\)

Mình sẽ làm câu b trước rồi từ đó suy ra a
b)Giả sử MP=PQ=QN đã có từ trước
Xét △△ ABC có E là trung điểm AB,D là trung điểm AC \Rightarrow ED là đường trung bình của △△ ABC\Rightarrow ED//BC và ED=BC/2(*)
Xét hình thang EDBC có M là trung điểm BE,N là trung điểm CE \Rightarrow MN//BC( (*) (*) )
Từ (*)( (*) (*) ) \Rightarrow ED//MN
Xét △△ BED có M là trung điểm BE,MP//ED \Rightarrow MP là đường trung bình của △△ BED \Rightarrow MP=ED/2
Tương tự cũng có NQ=ED/2
Ta có :MP=PQ
\Leftrightarrow ED2=BC−ED2ED2=BC−ED2
\Leftrightarrow ED=BC-ED
\Leftrightarrow 2ED=BC
Tương tự với NQ và PQ cũng rứa
Vậy muốn NQ=PQ=MP thì 2ED=BC Điều này là hiển nhiên ở (*)
từ đó phát triển lên câu a)NQ=PQ=MP=1/2ED
\Rightarrow MN=3/2ED \RightarrowMN=3/4BC
Đúng thì thanks giùm nha

B A C D E K I I' D'

Từ I vẽ đường thẳng II' // BC

Từ D vẽ đường thẳng DD' // BC

=> II' // DD' . Mà I là trung điểm của DE

=> EI' = I'D' ( 1 )

Vì \(\Delta\)ABC cân tại A có DD' // BC => DB = D'C ( 2 )

Mà AD = CE => AE = DB ( 3 )

Từ ( 2 ) và ( 3 ) => D'C = AE ( 4 )

Từ ( 1 ) và ( 4 ) => AI' = 'IC

\(\Delta\)AKC có II' // KC ; AI' = I'C

=>AI = IK ( Đpcm )

*Trong  ∆ BCD,ta có:

K là trung điểm của BC (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

Nên NK là đường trung bình của  ∆ BCD

⇒ NK // BD và NK = 1/2 BD (1)

*Trong  ∆ BED,ta có:

M là trung điểm của BE (gt)

I là trung điểm của DE (gt)

Nên MI là đường trung bình của  ∆ BED

⇒ MI // BD và MI = 1/2 BD (t/chất đường trung bình trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MI // NK và MI = NK

Nên tứ giác MKNI là hình bình hành.

*Trong ∆ BEC ta có MK là đường trung bình.

⇒ MK = 1/2 CE (t/chất đường trung bình của tam giác)

BD = CE (gt). Suy ra: MK = KN

Vậy hình bình hành MKNI là hình thoi.

⇒IK ⊥ MN (t/chất hình thoi).

Áp dụng định lí về đường trung bình của tam giác để chứng minh MI = IN = NK = KM (cùng bằng \(\dfrac{BD}{2}\) và \(\dfrac{CE}{2}\) )

MINK là hình thoi nên \(IK\perp MN\)