Võ Hồng Nhung                                                                                                                 

               1 phút trước (15:05)

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Gọi O là 1 điểm bất kì. A' là điểm đối xứng với O qua D, B' là điểm đối xứng với O qua E, C' là điểm đối xứng với O qua F. Chứng minh AA', BB', CC' đồng quy tại 1 điểm.

sao chẳng có ai vậy

Xét tam giác COA tao có FD là đường trung bình 

=> FD = 1/2 A'C' 

chứng minh tương tự FD = 1/2 AC => A'C' =AC

chứng minh tương tự B'C"= BC; A'B'=AB

vậy tam giác ABC =tam giác A'B'C'

Tứ giác AOBM có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành suy ra :

BM // OA, BM = OA (1)

Chứng minh tương tự ta có :

NC // OA, NC = OA (2)

Từ (1) và (2) suy ra BM // NC, BM = NC

Vậy MNCB là hình bình hành

Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//AB và \(DE=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔBAC có

D,F lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>DF là đường trung bình của ΔBAC

=>DF//AC và \(DF=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của AC,AB

=>EF là đường trung bình của ΔABC

=>EF//BC và \(EF=\frac{BC}{2}\)

Xét ΔDEF và ΔABC có

\(\frac{EF}{BC}=\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}\left(=\frac12\right)\)

Do đó: ΔDEF~ΔABC

Xét ΔOA'C' có

D,F lần lượt là trung điểm của OA', OC'

=>DF là đường trung bình của ΔOA'C'

=>\(DF=\frac12\cdot A^{\prime}C^{\prime}\)

=>A'C'=AC

Xét ΔOB'A' có

E,D lần lượt là trung điểm của OB',OA'

=>ED là đường trung bình của ΔOB'A'

=>ED=B'A'/2

mà ED=BA/2

nên B'A'=BA

Xét ΔOC'A' có

F,D lần lượt là trung điểm của OC',OA'

=>FD là đường trung bình của ΔOC'A'

=>FD=C'A'/2

=>C'A'=CA

Xét ΔABC và ΔA'B'C' có

\(\frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}}=\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}\left(=1\right)\)

Do đó: ΔABC~ΔA'B'C'