a: Xét (O) có

\(\hat{ACE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE

\(\hat{BCE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

\(\hat{ACE}=\hat{BCE}\)

Do đó: sđ cung AE=sđ cung BE
Xét (O) có

\(\hat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD
\(\hat{CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

\(\hat{ABD}=\hat{CBD}\)

Do đó: sđ cung AD=sđ cung CD

Gọi K là giao điểm thứ hai của AI và (O)

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường phân giác

BD cắt CE tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

=>AI là phân giác của góc BAC
=>AK là phân giác của góc BAC

Xét (O) có

\(\hat{KAB}\) là góc nội tiếp chắn cung KB

\(\hat{KAC}\) là góc nội tiếp chắn cung KC

\(\hat{KAB}=\hat{KAC}\)

Do đó: sđ cung KB=sđ cung KC

Xét (O) có \(\hat{AIE}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AE và CK

=>\(\hat{AIE}\) =1/2(sđ cung AE+sđ cung CK)

=1/2(sđ cung EB+sđ cung BK)

=1/2*sđ cung EK

Xét (O) có \(\hat{EAK}\) là góc nội tiếp chắn cung EK

=>\(\hat{EAK}\) =1/2*sđ cung EK

=>\(\hat{EAI}=\hat{EIA}\)

=>ΔEAI cân tại E

Xét (O) có \(\hat{AID}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AD và BK

=>\(\hat{AID}\) =1/2(sđ cung AD+sđ cung BK)

=1/2(sđ cung DC+sđ cung CK)

=1/2 sđ cung DK

Xét (O) có \(\hat{DAK}\) là góc nội tiếp chắn cung DK

=>\(\hat{DAK}\) =1/2*sđ cung DK

=>\(\hat{DAI}=\hat{DIA}\)

=>ΔDAI cân tại D

Xét (O) có \(\hat{AMD}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AD và BE

=>\(\hat{AMD}\) =1/2(sđ cung AD+sđ cung BE)

=1/2(sđ cung AD+sđ cung AE)

=1/2*sđ cung DE

Xét (O) có \(\hat{ANE}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AE và DC

=>\(\hat{ANE}=\frac12\) (sđ cung AE+sđ cung DC)

\(=\frac12\) (sđ cung AE+sđ cung AD)

=1/2*sđ cung DE

=>\(\hat{ANE}=\hat{AMD}\)

=>\(\hat{AMN}=\hat{ANM}\)

=>ΔAMN cân tại A

b: TA có: DA=DI

=>D nằm trên đường trung trực của AI(1)

Ta có: EA=EI

=>E nằm trên đường trung trực của AI(2)

Từ (1),(2) suy ra DE là đường trung trực của AI

=>DE⊥AI

N nằm trên đường thẳng DE
=>N nằm trên đường trung trực của AI

=>NA=NI(3)

Ta có: M nằm trên DE
=>M nằm trên đường trung trực của AI

=>MA=MI(4)

ΔAMN cân tại A

=>AM=AN(5)

Từ (3),(4),(5) suy ra AM=MI=IN=NA

=>AMIN là hình thoi

a,  A M N ^ = A N M ^ = 1 2 s đ E D ⏜

Suy ra ∆AMN cân tại A. Kéo dài AI cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh tương tự, ta có ∆AIE và ∆DIA lần lượt cân tại E và D

b, Xét ∆AMN cân tại A có AI là phân giác. Suy ra AI ^ MN tại F và MF = FN. Tương tự với DEAI cân tại E, ta có: AF = IF. Vậy tứ giác AMIN là hình hình hành. Mà AI ^ MN Þ ĐPCM

b)

 + Xét đt (o) có

      tứ giác BFACN nội tiếp đt

    \(\rightarrow ABC\)=AFC ( 2 góc nt cùng chắn cung AC)

  CÓ :  

      BD là tiếp tuyến đt (o) tại B(gt)

       \(\rightarrow\) BD vuông góc BO (TC tiếp tuyến)

       \(\rightarrow\)BD vuông góc BC (O thuộc BC)

        \(\rightarrow\) DBC = 90(dn)

        \(\rightarrow\)tam giác DBC vuông tại B

        xét tam giác vuông DBC cso

          BDC+DCB=90(2 góc phụ nhau trong tg vuông)        (1)

        +Xét đt (o) có: 

             BAC= 90 ( góc nt chắn nửa dtđk BC)
              \(\rightarrow\)tam giác BAC vuông tại A

          Xét tam giác vuông BAC có

                ABC+ACB=90 (2 gọc phụ nhau trong tam giác vuông)

              \(\rightarrow\) ABC+DCB=90(A thuộc DC )                                 (2)

                từ(1) và(2) \(\rightarrow\) BDC=ABC( cùng phụ DCB)

                                       Mà AFC=ABC(CMT) 

                                \(\rightarrow\) BDC=AFC(=ABC)

          +Có :

                 AFC+AFE=180( 2 góc kề bù)

               Mà 2 góc ở vị trí đối nhau 

             \(\rightarrow\) tứ giác DEFA nội tiếp ( DHNB tứ giác nội tiếp)                        

a: góc HMC+góc HNC=180 độ

=>HMCN nội tiếp

b: góc CED=góc CAD

góc CDE=góc CAE

mà góc CAD=góc CAE(=góc CBD)

nên góc CED=góc CDE

=>CD=CE