a) xét tam giác AMI zà tam giác ABD có

góc BAD chung

xét tam giác ABD có tia phân giác DM

=>\(\frac{AM}{MB}=\frac{AD}{BD}\left(1\right)\)

xét tam giac ADC có tia phân giác DN

\(\frac{AN}{NC}=\frac{AD}{DC}\left(2\right)\)

mà BD=DC (gt ) (3 )

từ 1 ,2 ,3  suy ra

\(\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{MB}=\frac{AD}{DC}\)

=> MN//BC 

b) Tam giác ABD có MI//BD

=> \(\frac{AM}{AB}=\frac{AI}{AD}=\frac{MI}{BD}\left(4\right)\)

tam giác ADC có IN//DC

=>\(\frac{AN}{AC}=\frac{AI}{DC}=\frac{IN}{DC}\left(5\right)\)

từ (4) ,(5) suy ra

\(\frac{MI}{BD}=\frac{IN}{DC}=\frac{AI}{AD}\)

mà BD=DC

=> MI=NI

=> I là trung điểm của MN

a) xét tam giác vuông ABC có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow BC=10\operatorname{cm}\)

áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác ABC ta có:

=> \(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}\)

=> \(\frac{AD}{DC}=\frac{6}{10}=\frac35\)

=> \(\frac{AD}{3}=\frac{DC}{5}\)

áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{AD}{3}=\frac{DC}{5}=\frac{AD+DC}{5+3}=\frac{AC}{8}=1\operatorname{cm}\)

=> AD=3 x 1=3cm

DC=5 x 1=5cm

b)xét tam giác ABH và tam giác CBA có:

góc B chung

góc AHB= góc BAC= 90 độ

=> △ABH~△CBA(g.g)

=> \(\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{BC}\)

=> \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{6.8}{10}=4,8\operatorname{cm}\)

xét tam giác AHC vuông tại H có:

\(HC^2=AC^2-AH^2\)

\(=8^2-4,8^2\)

\(=40,96\)

=> \(HC=\sqrt{40,96}=6,4\operatorname{cm}\)

c) từ I kẻ IK vuông góc BC tại K

từ I kẻ IE vuông góc AB tại E

từ I kẻ IF vuông góc AC tại F

xét tứ giác AEIF có:

góc A= góc AEI= góc ÀI= 90 độ

=> tứ giác AEIF là hcn

ta có I là giao của hai đường phân giác trong tam giác ABC

=> AI là đường phần giác trong tam giác ABC

=> góc EAI= góc FAI

xét tam giác EAI và tam giác FAI có:

góc EAI= góc AFI= 90 độ

góc EAI= góc FAI

cạnh AI là cạnh chung

=> △EAI=△FAI(ch-gn)

=> EI=IF

hcn AEIF có EI= IF

=> tứ giác AEIF là hình vuông

=>AE=EI=IF=FA

xét tam giác BEI và tam giác BIK có:

chung BI

góc EBI = góc KBI

góc BEI= góc BKI= 90 độ

=>△BEI=△BIK(ch-gn)

=> BE=BK

CMTT: △CFI=△CKI(ch-gn)

=> CF=CK

ta xét tổng AB+AC

AB+AC=(AE+BE)+(AF+CF)

vì AE=AF, BE=BK,CF=CK

=> AB+AC=2AE+BK+CK

=> AB+AC=2AE+BC

=> 6+8=2AE+10

=>14+2AE+10

2AE=4

AE=2cm

=> IK=IE=AE=2cm

BK=BE=AB-AE=6-2=4cm

vì M là trung điểm BC nên BM= 10:2=5cm

ta lại có: KM=BM-BK=5-4=1cm

xét △BKI vuông tại K

=> \(BI^2=BK^2+IK^2\)

\(BI^2=4^2+2^2=20\operatorname{cm}\)

xét △IKM vuông tại K

=> \(IM^2=IK^2+KM^2\)

\(IM^2=2^2+1^2=5\)

cộng lại hai vế trên ta có:

\(BI^2+IM^2=20+5=BM^2=5^2=25\)

=> △BIM vuông tại I

=> góc BIM= 90 độ

a: Xét ΔDAB có DE là phân giác

nên \(\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DB}\)

b: Xét ΔADC có DM là phân giác

nên \(\frac{AM}{MC}=\frac{AD}{DC}\)

=>\(AM\cdot CD=DA\cdot MC\)

c: Ta có: \(\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DB}\)

\(\frac{AM}{MC}=\frac{AD}{DC}\)

mà DB=DC

nên \(\frac{AE}{EB}=\frac{AM}{MC}\)

Xét ΔABC có \(\frac{AE}{EB}=\frac{AM}{MC}\)

nên EM//BC

d: Xét ΔABD có EK//BD

nên \(\frac{EK}{BD}=\frac{AK}{AD}\) (1)

Xét ΔADC có KM//DC
nên \(\frac{KM}{DC}=\frac{AK}{AD}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{EK}{BD}=\frac{KM}{DC}\)

mà BD=DC

nên EK=KM

=>K là trung điểm của EM

giúp mình với nha 

Câu 3:

Xét ΔMDC có AB//CD

nên MA/MD=MB/MC(1)

Xét ΔMDK có AI//DK

nên AI/DK=MA/MD(2)

Xét ΔMKC có IB//KC

nên IB/KC=MB/MC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AI/DK=IB/KC=MI/MK

Vì AI//KC nên AI/KC=NI/NK=NA/NC

Vì IB//DK nên IB/DK=NI/NK

=>AI/KC=IB/DK

mà AI/DK=IB/KC

nên \(\dfrac{AI}{KC}\cdot\dfrac{AI}{DK}=\dfrac{IB}{DK}\cdot\dfrac{IB}{DC}\)

=>AI=IB

=>I là trung điểm của AB

AI/DK=BI/KC

mà AI=BI

nên DK=KC

hay K là trung điểm của CD

Bạn có cần mình vẽ hình không, thôi mình cứ vẽ cho rõ ràng nhé, mà hình không chắc đúng đâu nha :33

A B C M K D E

a) Xét tam giác \(ACM\), KM là tia phân giác của \(\widehat{AMC}\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{MC}=\frac{AD}{DC}\) ( tính chất đường phân giác trong tam giác )

Mà : \(MC=MB\) ( Do M là trung điểm của BC )

\(\Rightarrow\frac{AM}{MB}=\frac{AD}{DC}\) ( đpcm )

b) Chứng minh tương tự phần a) với tam giác \(AMB\) ta có : \(\frac{AM}{MB}=\frac{AK}{BK}\) ( tính chất đường phân giác trong tam giác )

Khi đó : \(\frac{AK}{BK}=\frac{AD}{DC}\left(=\frac{AM}{MB}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AK}{AB}=\frac{AD}{AC}\)

Xét \(\Delta ABC,K\in AB,D\in AC\) và \(\frac{AK}{AB}=\frac{AD}{AC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow KD//BC\) ( định lý Talet đảo ) (đpcm)

c)  Áp dụng định lý Talet cho các tam giác ABM , ACM ta có :

+) \(EK//BM\Rightarrow\frac{KE}{BM}=\frac{AE}{AM}\)

+) \(ED//MC\Rightarrow\frac{ED}{MC}=\frac{AE}{AM}\)

\(\Rightarrow\frac{KE}{BM}=\frac{ED}{MC}\Rightarrow EK=ED\) ( do \(BM=CM\) )

Nên : E là trung điểm của KD ( đpcm )

d) Ta có : \(KD=10\Rightarrow KE=5\)

Theo câu c) ta có : \(\frac{KA}{AB}=\frac{AE}{AM}=\frac{KE}{BM}\Rightarrow\frac{5}{8}=\frac{KE}{BM}=\frac{5}{BM}\)

\(\Rightarrow BM=8\Rightarrow BC=16\left(cm\right)\)

Vậy : \(BC=16cm\)