Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C A' B' C' I D
\(\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{ID}\left(\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{IA}\right)=\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}\)
\(=IA'^2-\left(\overrightarrow{IC'}+\overrightarrow{C'D}\right)\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{IC'}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{C'D}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-IC'^2-0\) (vì AI vuông góc với C'B')
\(=r^2-r^2=0\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
ĐFCM
\(p=\frac{a+b+c}{2}\)
Xét (I) có
BP,BM là các tiếp tuyến
Do đó: BP=BM=p-b
Xét (I) có
AP,AN là các tiếp tuyến
Do đó: AP=AN=p-a
Xét (I) có
CM,CN là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CN=p-c
\(\vec{IM} = \frac{MC \cdot \vec{IB} + BM \cdot \vec{IC}}{BC} = \frac{(p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC}}{a}\)
\(\Rightarrow a\vec{IM} = (p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC} \quad (1)\)
Chứng minh tương tự, ta cũng có: \(b\vec{IN} = (p-a)\vec{IC} + (p-c)\vec{IA} \quad (2)\)
và \(c\vec{IP} = (p-b)\vec{IA} + (p-a)\vec{IB} \quad (3)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra:
\(a\vec{IM} + b\vec{IN} + c\vec{IP} = \left[(p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC}\right] + \left[(p-a)\vec{IC} + (p-c)\vec{IA}\right] + \left[(p-b)\vec{IA} + (p-a)\vec{IB}\right]\)
Hệ số của \(\overrightarrow{IA}\) là:
\((p - c) + (p - b) = 2p - b - c = (a + b + c) - b - c = a\)
Hệ số của \(\overrightarrow{IB}\) là:
\((p - c) + (p - a) = 2p - a - c = (a + b + c) - a - c = b\)
Hệ số của \(\overrightarrow{IC}\) là:
\((p - b) + (p - a) = 2p - a - b = (a + b + c) - a - b = c\)
Do đó: \(a\vec{IM} + b\vec{IN} + c\vec{IP} = a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC}\)
\(=\overrightarrow{0}\)
De chung minh M la tam duong tron bang tiep goc C cua tam giac ABC
\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{MBI}=90^0\) => tu giac MAIN noi tiep
=> \(C'I.C'M=C'B.C'A\left(1\right)\)
Mat khac xet (O) ta cung co \(C'B.C'A=C'N.C'E\left(2\right)\)
Tu (1) va (2) suy ra \(C'I.C'M=C'E.C'N\)
suy ra tu giac MEIN noi tiep (*)
chung minh tuong tu cung co tu giac EINK noi tiep (**)
tu (*) va(**) ta co dpcm
A B C O I M N P Q L K J
Đặt bán kính của (I) và (O) lần lượt là \(r\) và \(R\).Gọi AI cắt (O) tại K khác A, KO cắt PQ, (O) lần lượt tại J,L.
Dễ thấy K là điểm chính giữa cung PQ và BC, suy ra KP = KQ, cũng dễ có KM = KN (1)
Áp dụng ĐL Cosin vào \(\Delta\)AKN ta có:
\(KN^2=AK^2+AN^2-2AK.AN.\cos45^0\Rightarrow KN^2=2R^2+2Rr+r^2\) (2)
Ta thấy OJ có độ dài bằng một nửa đường cao AH của \(\Delta\)ABC. Từ ĐL Ptolemy và Thales ta tính được:
\(AH=r.\frac{AB+AC+2R}{2R}=\frac{2Rr+r^2}{R}\Rightarrow OJ=\frac{2Rr+r^2}{2R}\)
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông có:
\(KQ^2=KJ.KL=\left(R+\frac{2Rr+r^2}{2R}\right).2R=2R^2+2Rr+r^2\) (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra KM = KN = KP = KQ. Điều đó có nghĩa là M,N,P,Q cùng thuộc đường tròn tâm K (đpcm).
1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A
Ta có P C M ^ = P A C ^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );
Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM tiếp xúc (O)
Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.
