1: Xét tứ giác AKDM có

AK//DM

AM//DK

Do đó: AKDM là hình bình hành

=>\(\hat{AKE}=\hat{AMD}=\hat{AMB}\)

Xét ΔMAC có \(\hat{AMB}\) là góc ngoài tại đỉnh M

nên \(\hat{AMB}=\hat{MAC}+\hat{MCA}=\hat{MAC}+\hat{ACB}\)

=>\(\hat{AKE}=\hat{MAC}+\hat{ACB}\)

2: Xét ΔBAM có DE//AM

nên \(\frac{DE}{AM}=\frac{BD}{BM}=\frac{BE}{BA}\)

Xét ΔCAF có AM//DF
nên \(\frac{AM}{DF}=\frac{CM}{CD}=\frac{CA}{CF}\)

=>\(\frac{DF}{AM}=\frac{CD}{CM}\)

\(\frac{DE}{AM}+\frac{DF}{AM}=\frac{BD}{BM}+\frac{CD}{CM}=\frac{BC}{BM}=2\)

=>DE+DF=2AM

=>DE+DF-2AM=0

9+9=18

Sửa lại là CM: A là trung điểm của KG nhé.

+ Xét \(\Delta ABC\) có:

\(DE\) // \(BC\left(gt\right)\)

=> \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\) (định lí Ta - lét) (1).

+ Xét \(\Delta DBC\) có:

\(AK\) // \(BC\left(gt\right)\)

=> \(\frac{AK}{BC}=\frac{AD}{DB}\) (định lí Ta - lét) (2).

+ Xét \(\Delta BEC\) có:

\(AG\) // \(BC\left(gt\right)\)

=> \(\frac{AG}{BC}=\frac{AE}{EC}\) (định lí Ta - lét) (3).

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{AK}{BC}=\frac{AG}{BC}.\)

=> \(AK=AG.\)

=> A là trung điểm của \(KG\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Lời giải:

a) Áp dụng định lý Talet cho:

Tam giác $CFD$ có $AM\parallel FD$:

$\frac{DF}{AM}=\frac{CD}{CM}(1)$

Tam giác $ABM$ có $ED\parallel AM$:

$\frac{ED}{AM}=\frac{BD}{BM}(2)$

Lấy $(1)+(2)\Rightarrow \frac{DE+DF}{AM}=\frac{CD}{BC:2}+\frac{BD}{BC:2}=\frac{BC}{BC:2}=2$

$\Rightarrow DE+DF=2AM$ 

Vì $AM$ không đổi khi $D$ di động nên $DE+DF$ không đổi khi $D$ di động

b) Dễ thấy $KADM$ là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song. Do đó $KA=DM$

Áp dụng định lý Talet cho trường hợp $AK\parallel BD$:

$\frac{KE}{ED}=\frac{KA}{BD}=\frac{DM}{BD}(3)$

Lấy $(1):(2)$ suy ra $\frac{DF}{ED}=\frac{CD}{BD}$

$\Rightarrow \frac{EF}{ED}=\frac{CD}{BD}-1=\frac{CD-BD}{BD}=\frac{CM+DM-(BM-DM)}{BD}=\frac{2DM}{BD}(4)$

Từ $(3);(4)\Rightarrow \frac{2KE}{ED}=\frac{EF}{ED}$

$\Rightarrow 2KE=EF\Rightarrow FK=EK$ hay $K$ là trung điểm $EF$

Hình vẽ: