Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)
\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)
=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)
=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)
\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)
=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)
=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)
b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:
\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)
c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC và BH⊥AC
=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)
\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)
\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
=>-6(x+2)+2(y+1)=0
=>-3(x+2)+y+1=0
=>-3x-6+y+1=0
=>y-3x-5=0
=>y=3x+5
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)
\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)
=>1(x-5)+6(y-3)=0
=>x-5+6y-18=0
=>x+6y-23=0
=>x+6y=23
=>x+6(3x+5)=23
=>x+18x+30=23
=>19x=-7
=>x=-7/19
=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)
=>H(-7/19;74/19)
d: AH⊥BC
nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình đường cao AH là:
1(x-5)+6(y-3)=0
=>x-5+6y-18=0
=>x+6y-23=0
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-6;1)
Phương trình BC là:
-6(x+2)+1(y+1)=0
=>-6x-12+y+1=0
=>-6x+y-11=0
=>y=6x+11
x+6y-23=0
=>x+6(6x+11)-23=0
=>x+36x+66-23=0
=>37x=-43
=>\(x=-\frac{43}{37}\)
=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)
=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)
e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)
\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)
\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)
Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)
\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)
=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)
Diện tích tam giác BAC là:
\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)
\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)
a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)
\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)
=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)
=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)
\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)
=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)
=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)
b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:
\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)
c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC và BH⊥AC
=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)
\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)
\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
=>-6(x+2)+2(y+1)=0
=>-3(x+2)+y+1=0
=>-3x-6+y+1=0
=>y-3x-5=0
=>y=3x+5
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)
\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)
=>1(x-5)+6(y-3)=0
=>x-5+6y-18=0
=>x+6y-23=0
=>x+6y=23
=>x+6(3x+5)=23
=>x+18x+30=23
=>19x=-7
=>x=-7/19
=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)
=>H(-7/19;74/19)
d: AH⊥BC
nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình đường cao AH là:
1(x-5)+6(y-3)=0
=>x-5+6y-18=0
=>x+6y-23=0
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-6;1)
Phương trình BC là:
-6(x+2)+1(y+1)=0
=>-6x-12+y+1=0
=>-6x+y-11=0
=>y=6x+11
x+6y-23=0
=>x+6(6x+11)-23=0
=>x+36x+66-23=0
=>37x=-43
=>\(x=-\frac{43}{37}\)
=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)
=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)
e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)
\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)
\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)
Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)
\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)
=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)
Diện tích tam giác BAC là:
\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)
\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)
a/ BĐT sai, với \(c=0\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a}{b}\) (vô lý)
b/ \(\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab+ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b+c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
c/ Bạn coi lại đề, trong ngoặc bên phải là \(a^2b\) hay \(ab^2\)?
d/ \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)
e/ Thiếu điều kiện, BĐT này chỉ đúng khi \(a+b\ge0\) (hoặc a;b không âm)
a)Ta có BĐT tam giác :
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\a+c>b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\a+c-b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[a+\left(b+c\right)\right]\left[a-\left(b-c\right)\right]>0\)
\(\Rightarrow a^2-\left(b-c\right)^2>0\Rightarrow a^2>\left(b-c\right)^2\)
b)Áp dụng BĐT ở câu a ta có:
\(a^2+b^2+c^2>\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2>b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac+a^2+b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca>2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca>a^2+b^2+c^2\)
ủa anh ơi bài b) kêu chứng minh là \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\) sao anh lại đi chứng minh \(a^2+b^2+c^2< ab+bc+ca\) ở cuối bài .-.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác có a+b>c
<=>ac+bc > c2 (c>0)
<=>a+b
Tương tự có:ab+cb>b2 ac+ab >a2ab+bc>b2,ac+ab>a2
Cộng các bất đẳng thức trên ra điều phải chứng minh
2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)<a2+b2+c2<=>2(a2+b2+c2)>a2+b2+c2 (dpcm)
a) "Nếu ABC là một tam giác đều thì AB = BC = CA", cả hai mệnh đề đều đúng
b) "Nếu \(\widehat{C}>\widehat{A}\) thì AB > BC". Cả hai mệnh đề đều đúng
c) "Nếu ABC là một tam giác vuông thì \(\widehat{A}=90^0\)"
Nếu tam giác ABC vuông tại B (hoặc C) thì mệnh đề đảo sai
ta có: \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)\(\ge\)ab+bc+ca
<=> \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)-ab-bc-ca\(\ge\)0
<=>2\(a^2\)+2\(b^2\)+2\(c^2\)-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
<=> (\(a^2\)-2ab+\(b^2\))+(\(b^2\)-2bc+\(c^2\))+(\(c^2\)-2ca+\(a^2\))\(\ge\)0
<=> \(\left(a-b\right)^2\)+\(\left(b-c\right)^2\)+\(\left(c-a\right)^2\)\(\ge\)0 (luôn đúng)
dấu = xảy ra khi a =b=c
a−b<c<=>a2+b2−2ab<c2a−b<c<=>a2+b2−2ab<c2
b−c<a<=>b2+c2−2bc<a2b−c<a<=>b2+c2−2bc<a2
a−c<b<=>a2+c2−2ac<b2a−c<b<=>a2+c2−2ac<b2
Cộng các vế ta có
2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ac)<a2
lớp 9 đấy