a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AD\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AE\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b) Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=90^0\)

\(\widehat{AEH}=90^0\)

\(\widehat{ADH}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Suy ra: AH=DE(hai đường chéo)(3)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(DE^2=HB\cdot HC\)

ta có

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

Ta có AH²=CH.BH=ab (1)

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác AHM vuông tại H có AM là cạnh huyền --> AH\(\le\)AM (2)

Mà \(AM=\frac{BC}{2}=\frac{a+b}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow a.b\le\frac{a+b}{2}\)

Mình ko hiểu

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HA^2=HB\cdot HC\)

=>\(HC=\frac{6^2}{4,5}=\frac{36}{4,5}=8\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>AC=10

b: Xét ΔAHC vuông tại H có

sin C=\(\frac{AH}{AC}=\frac{6}{10}=\frac35\)

cos C=\(\frac{CH}{CA}=\frac{8}{10}=\frac45\)

tan C=\(\frac{AH}{HC}=\frac68=\frac34\)

cot C=\(\frac{HC}{HA}=\frac86=\frac43\)

c: Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC;CA^2=CH\cdot CB\)

=>\(\frac{BA^2}{CA^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\frac{BH}{CH}\)

Xét ΔBHA vuông tại H có HE là đường cao

nên \(BE\cdot BA=BH^2\)

=>\(BE=\frac{BH^2}{AB}\)

Xét ΔCHA vuông tại H có HF là đường cao

nên \(CF\cdot CA=CH^2\)

=>\(CF=\frac{CH^2}{CA}\)

\(\frac{BE}{CF}=\frac{BH^2}{BA}:\frac{CH^2}{AC}\)

\(=\frac{BH^2}{AB}\cdot\frac{AC}{CH^2}=\left(\frac{BH}{CH}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}=\left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HA^2=HB\cdot HC\)

=>\(HC=\frac{6^2}{4,5}=\frac{36}{4,5}=8\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>AC=10

b: Xét ΔAHC vuông tại H có

sin C=\(\frac{AH}{AC}=\frac{6}{10}=\frac35\)

cos C=\(\frac{CH}{CA}=\frac{8}{10}=\frac45\)

tan C=\(\frac{AH}{HC}=\frac68=\frac34\)

cot C=\(\frac{HC}{HA}=\frac86=\frac43\)

c: Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC;CA^2=CH\cdot CB\)

=>\(\frac{BA^2}{CA^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\frac{BH}{CH}\)

Xét ΔBHA vuông tại H có HE là đường cao

nên \(BE\cdot BA=BH^2\)

=>\(BE=\frac{BH^2}{AB}\)

Xét ΔCHA vuông tại H có HF là đường cao

nên \(CF\cdot CA=CH^2\)

=>\(CF=\frac{CH^2}{CA}\)

\(\frac{BE}{CF}=\frac{BH^2}{BA}:\frac{CH^2}{AC}\)

\(=\frac{BH^2}{AB}\cdot\frac{AC}{CH^2}=\left(\frac{BH}{CH}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}=\left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}\)

1: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\) và \(AC^2=CH\cdot CB\)

=>\(BH=\frac{AB^2}{BC}\)

Xét ΔBHA vuông tại H có HM là đường cao

nên \(BM\cdot BA=BH^2\)

=>\(BM=\frac{BH^2}{BA}\)

=>\(BM^2=\frac{BH^4}{BA^2}=\frac{BH^4}{BH\cdot BC}=\frac{BH^3}{BC}\)

2: XétΔCHA vuông tại H có HN là đường cao

nên \(CN\cdot CA=CH^2\)

=>\(CN=\frac{CH^2}{CA}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC;AH^2=HB\cdot HC\)

\(BM\cdot CN\cdot BC\)

\(=\frac{BH^2}{AB}\cdot\frac{CH^2}{AC}\cdot BC=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}\cdot BC=AH^3\)

3: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>AM=HN; HM=AN

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\)

=>\(AN=\frac{AH^2}{AC}\)

\(HM\cdot HN\cdot BC\)

\(=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}\cdot BC=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}\cdot BC=AH^3\)

=>\(HM\cdot HN=\frac{AH^3}{BC}\)