a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(HC=\frac{6^2}{4}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

BC=BH+HC=4+9=13(cm)

Xét ΔCAB vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CA^2=CH\cdot CB=9\cdot13=117\)

=>\(CA=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\) (cm)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH\left(BH+16\right)=15^2=225\)

=>\(BH^2+16\cdot BH-225=0\)

=>(BH+25)(BH-9)=0

=>BH-9=0

=>BH=9(cm)

BC=BH+CH=9+16=25(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=25^2-15^2=625-225=400=20^2\)

=>AC=20(cm)

c: AB:AC=3:4

=>\(\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=k\)

=>AB=3k; AC=4k

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

=>\(\frac{1}{\left(3k\right)^2}+\frac{1}{\left(4k\right)^2}=\frac{1}{6^2}\)

=>\(\frac{1}{9k^2}+\frac{1}{16k^2}=\frac{1}{6^2}\)

=>\(\frac{25}{144k^2}=\frac{1}{36}\)

=>\(144k^2=25\cdot36=900\)

=>\(k^2=\frac{900}{144}=6,25=2,5^2\)

=>k=2,5

=>\(AB=3\cdot2,5=7,5;AC=4\cdot2,5=10\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=7,5^2+10^2=12,5^2\)

=>BC=12,5

Chu vi tam giác ABC là;

AB+AC+BC=7,5+10+12,5=30

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot7,5\cdot10=37,5\)

\(1,HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{256}{9}\\ \Rightarrow AB=\sqrt{BH\cdot BC}=\sqrt{\left(\dfrac{256}{9}+9\right)9}=\sqrt{337}\\ 2,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\\ \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\\ 3,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=9\\ \Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=5,4\\ 4,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{9\left(6+9\right)}=3\sqrt{15}\\ 5,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4\sqrt{7}\left(cm\right)\\ \Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=3\sqrt{7}\left(cm\right)\\ 6,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{12\left(12+8\right)}=4\sqrt{15}\left(cm\right)\)

Anh ơi

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$AC^2=CH.CB$

$\Rightarrow \frac{9}{16}=\frac{BH}{CH}=(\frac{AB}{AC})^2$

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$

$AC=\frac{4}{3}AB=\frac{4}{3}.24=32$ (cm)

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{24^2+32^2}=40$ (cm)

$AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{24.32}{40}=19,2$ (cm)

Hình vẽ:

Áp dụng HTL trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

\(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow15^2=BH\left(BH+HC\right)\)

\(\Rightarrow225=BH\left(BH+16\right)\)

\(\Rightarrow BH^2+16BH-225=0\)

\(\Rightarrow BH=9\)

Áp dụng HTL:

\(AC^2=HC.BC\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{16\left(16+9\right)}=20\)

Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{9}{16}\Rightarrow HB=\dfrac{9}{16}HC\)

Ta có: \(AB^2=BH.BC=BH\left(BH+HC\right)=\dfrac{9}{16}HC\left(\dfrac{9}{16}HC+HC\right)\)

\(=\dfrac{9}{16}HC.\dfrac{25}{16}HC=\dfrac{225}{256}HC^2\)

\(\Rightarrow HC^2=\dfrac{256AB^2}{225}=\dfrac{16384}{25}\Rightarrow HC=\dfrac{128}{5}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HB=\dfrac{72}{5}\Rightarrow BC=\dfrac{128+72}{5}=40\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{BC ^2-AB^2}=\sqrt{40^2-24^2}=32\)

Ta có: \(AB.AC=AH.BC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{24.32}{40}=\dfrac{96}{5}\left(cm\right)\)

\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{9}{16}\Rightarrow HC=\dfrac{16}{9}HB\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AB^2=HB.BC=HB\left(HB+HC\right)\)

\(\Leftrightarrow24^2=HB.\left(HB+\dfrac{16}{9}HB\right)\)

\(\Rightarrow HB^2=\dfrac{5184}{25}\Rightarrow HB=\dfrac{72}{5}\left(cm\right)\)

\(HC=\dfrac{16}{9}HB=\dfrac{128}{5}\) (cm)

\(BC=HB+HC=40\) (cm)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=32\) (cm)

\(AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{96}{5}\left(cm\right)\)

3:

Đặt HB=x; HC=y

Theo đề, ta có: x+y=289 và xy=120^2=14400

=>x,y là các nghiệm của phương trình:

a^2-289a+14400=0

=>a=225 hoặc a=64

=>(x,y)=(225;64) và (x,y)=(64;225)

TH1: BH=225cm; CH=64cm

=>\(AB=\sqrt{225\cdot289}=15\cdot17=255\left(cm\right)\) và \(AC=\sqrt{64\cdot289}=7\cdot17=119\left(cm\right)\)

TH2: BH=64cm; CH=225cm

=>AB=119m; AC=255cm

a: CH=16^2/25=10,24cm

BC=25+10,24=35,24cm

AB=căn 16^2+25^2=căn 881(cm)

b: AH=căn 12^2-6^2=6căn 3cm

CH=AH^2/HB=108/6=18cm

BC=6+18=24cm

c: BC=căn 5^2+25^2=5 căn 26cm

BH=5^2/5căn 26=5/căn 26(cm)

CH=5căn 26-5/căn 26=24,51(cm)

d: AB=căn 16^2-14^2=2căn15(cm)

e: AB=căn 2*8=4cm

AC=căn 6*8=4căn 3(cm)

\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{225}{16+BH}\\ \Leftrightarrow BH^2+16BH-225=0\\ \Leftrightarrow BH=9\left(BH>0\right)\\ \Leftrightarrow BC=BH+HC=25\\ \Leftrightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=20\left(cm\right)\)