a, Chứng minh IFEK là hình bình hành có tâm O. Chứng minh IK ⊥ KE => IFEKlà hình chữ nhật => I,F,E,K cùng thuộc (O;OI)

b, Ta có:  I D E ^   =   90 0 => Tam giác IDE vuông tại D 

Chứng minh rằng KD ⊥ DF => ∆ KDF vuông

a: H là trực tâm của ΔABC

=>CH⊥AB và BH⊥AC và AH⊥BC

AH⊥BC

AD⊥BC

mà AH,AD có điểm chung là A

nên A,H,D thẳng hàng

Xét ΔHAB có

I,K lần lượt là trung điểm của HA,HB

=>IK là đường trung bình của ΔHAB

=>IK//AB và \(IK=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có

E,F lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>EF là đường trung bình của ΔCAB

=>EF//AB và \(EF=\frac{AB}{2}\)

IK//AB

EF//AB

Do đó: IK//EF

\(IK=\frac{AB}{2}\)

\(EF=\frac{AB}{2}\)

Do đó: IK=EF

Xét ΔHAC có

I,F lần lượt là trung điểm của AH,AC

=>IF là đường trung bình của ΔHAC

=>IF//HC và \(IF=\frac{HC}{2}\)

IF//HC

HC⊥AB

Do đó: IF⊥AB

IF⊥AB

AB//IK

Do đó: IK⊥IF

Xét tứ giác IFEK có

IK//EF

IK=EF

Do đó: IFEK là hình bình hành

Hình bình hành IFEK có IK⊥IF

nên IFEK là hình chữ nhật

=>E,F,I,K cùng thuộc đường tròn đường kính IE và FK

b: Vì \(\hat{IDE}=90^0\)

nên D nằm trên đường tròn đường kính IE

=>D nằm trên đường tròn đi qua bốn điểm E,F,I,K

a/ 

+ Xét tg AHB có

IA=IH (đề bài)

KB=KH (đề bài)

=> IK là đường trung bình của tg ABH => IK//=AB/2 (1)

+ Xét tam giác ABC có

FA=FC (đề bài)

EB=EC (đề bài)

=> EF là đường trung bình của tg ABC => EF//=AB/2 (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác KIFE là hình bình hành) (3)

+ Xét tam giác BHC có

KB=KH

EB=EC

=> KE là đường trung bình của tg BHC => KE//HC

mà HC vuông góc với AB (H là trực tâm)

=> KE vuông góc với AB

Ta đã c/m ở trên là IK//AB

=> IK vuông góc với KE (4)

Từ (3) và (4) => KIFE là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)

+ Ta có K và F cùng nhìn IE dưới 1 góc vuông => K; F nằm trên đường tròn đường kings IE => E; F; I; K cùng nằm trên 1 đường tròn đường kính IE

b/ Ta có AD vuông góc BC => D cũng nhìn IE dưới 1 góc vuông => D thuộc đường tròn đường kính IE

xl nhưng bài này khó quá mk ko lm đc

a) Sửa đề: 5 điểm A,B,D,F,E cùng thuộc một đường tròn

Xét tứ giác ABFE có

\(\widehat{AFB}=\widehat{AEB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{AFB}\) và \(\widehat{AEB}\) là hai góc cùng nhìn cạnh AB

Do đó: ABFE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Suy ra: A,B,F,E cùng thuộc 1 đường tròn(1)

Xét tứ giác ABDE có 

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ADB}\) và \(\widehat{AEB}\) là hai góc cùng nhìn cạnh AB

Do đó: ABDE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Suy ra: A,B,D,E cùng thuộc 1 đường tròn(2)

Từ (1) và (2) suy ra A,B,D,F,E cùng thuộc 1 đường tròn(đpcm)

Tâm I của đường tròn này là trung điểm của AB

a: Xét ΔHAB có HI/HA=HK/HB

nên IK//AB và IK=AB/2

Xét ΔCBA có CE/CB=CF/CA

nên EF//AB và EF=AB/2

=>IK//EF và IK=EF

Xét ΔHAC có AI/AH=AF/AC

nên IF//HC

=>IF vuông góc với AB

=>IF vuông góc với IK

=>IFEK là hình chữ nhật

=>I,K,E,F cùng thuộc đường tròn đường kính IE

b: Vì góc IDE=90 độ

nên D nằm trên đường tròn đường kính IE