a; Đặt D trùng với A', E trùng với B', F trùng với C'

Xét ΔDBH vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có

\(\hat{DBH}=\hat{DAC}\left(=90^0-\hat{DCA}\right)\)

Do đó: ΔDBH~ΔDAC
=>\(\frac{DB}{DA}=\frac{DH}{DC}\)

=>\(DB\cdot DC=DH\cdot DA\)

=>\(A^{\prime}B\cdot A^{\prime}C=A^{\prime}H\cdot A^{\prime}A\)

Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

\(\hat{FHB}=\hat{EHC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔHFB~ΔHEC

=>\(\frac{HF}{HE}=\frac{HB}{HC}\)

=>\(HF\cdot HC=HE\cdot HB\)

=>\(HB^{\prime}\cdot HB=HC^{\prime}\cdot HC\left(1\right)\)

Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có

\(\hat{EHA}=\hat{DHB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEA~ΔHDB

=>\(\frac{HE}{HD}=\frac{HA}{HB}\)

=>\(HD\cdot HA=HE\cdot HB\)

=>\(HA^{\prime}\cdot HA=HB\cdot HB^{\prime}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(HA^{\prime}\cdot HA=HB^{\prime}\cdot HB=HC^{\prime}\cdot HC\)

Xét ΔABC có AD,BE,CF là các đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC=\frac12\cdot BE\cdot AC=\frac12\cdot CF\cdot AB\)

=>\(AD\cdot BC=BE\cdot AC=CF\cdot AB\)

=>\(A^{\prime}A\cdot BC=BB^{\prime}\cdot AC=C^{\prime}C\cdot AB\)

b: \(A^{\prime}A\cdot BC=B^{\prime}B\cdot AC=C^{\prime}C\cdot AB\)

mà AB<AC<BC

nên C'C>B'B>A'A

tự kẻ hình nha bạn

a, có \(\hept{\begin{cases}S_{HBC}=\frac{BC\cdot HA'}{2}\\S_{ABC}=\frac{BC\cdot AA'}{2}\end{cases}}\) \(\Rightarrow\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{BC\cdot HA'}{2}\div\frac{BC\cdot AA'}{2}=\frac{HA'}{AA'}\)

có tương tự ta có \(\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HB'}{BB'}\)  và \(\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HC'}{CC'}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{HAC}+S_{HBC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)

để mjnh làm tiếp câu b 

b, IN là pg của \(\widehat{AIB}\) (gt)

\(\Rightarrow\frac{NB}{IB}=\frac{NA}{AI}\) (tc)

\(\Rightarrow NB\cdot AI=IB\cdot NA\)

\(\Rightarrow NB\cdot AI\cdot CM=IB\cdot AN\cdot CM\left(1\right)\)

IM là pg của \(\widehat{AIC}\)  (gt)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AI}=\frac{MC}{IC}\)

\(\Rightarrow AM\cdot IC=AI\cdot CM\)

\(\Rightarrow AM\cdot IC\cdot NB=AI\cdot CM\cdot NB\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow AN\cdot BI\cdot CM=BN\cdot CI\cdot AM\)