A B C E F D

hình chỉ minh họa thôi nhé mk sẽ giải cho 

vì AD=BE=CF nên AD,BE,CF là đường cao là trung trực là tung tuyến phân giác mà 3 đường cao đi qua 1 điểm , điểm này cách đều D,E,F nên tam giác DEF là tam giac đều 

Xét ΔABCΔABC là tam giác đều (gt)

=> {ABCˆ=ACBˆ=BACˆAB=AC=BC{ABC^=ACB^=BAC^AB=AC=BC (tính chất tam giác đều)

Có : ⎧⎩⎨⎪⎪D∈ABE∈BCF∈AC{D∈ABE∈BCF∈AC (gt)

=> ⎧⎩⎨⎪⎪AB=AD+BDAC=CF+CFBC=BE+CE{AB=AD+BDAC=CF+CFBC=BE+CE

Mà : {AD=BE=CFAB=AC=BC{AD=BE=CFAB=AC=BC (cmt)

=> BD=AF=CEBD=AF=CE

Xét ΔADF;ΔBEDΔADF;ΔBED có :

AF=BD(cmt)AF=BD(cmt)

DAFˆ=EBDˆDAF^=EBD^ (gt)

AD=BE(cmt)AD=BE(cmt)

=> ΔADF=ΔBED(c.g.c)ΔADF=ΔBED(c.g.c)

=> DF=DEDF=DE (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét ΔADF;ΔCEFΔADF;ΔCEF có :

AF=EC(cmt)AF=EC(cmt)

DAFˆ=FCEˆDAF^=FCE^ (tam giác ABC đều - gt)

DA=FC(cmt)DA=FC(cmt)

=> ΔADF=ΔCEF(c.g.c)ΔADF=ΔCEF(c.g.c)

=> DF=EFDF=EF ( 2 cạnh tương ứng) (2)

- Từ (1) và (2) => DF=DE=EFDF=DE=EF

Xét ΔDEFΔDEF có :

DF=DE=EFDF=DE=EF (cmt)

=> ΔDEFΔDEF là tam giác đều (đpcm)

Tam giác ABC đều

=> Góc A=Góc B=Góc C

Chứng minh Tam giác ADE và Tam giác BED:

AD=BE

Góc A=Góc B

AF=BD

=> Tam giác ADE=Tam giác EBD(c.g.c)                                               (1)

=>DF=ED                                                                                           (3)

Tương tự chứng minh Tam giác ECF=Tam giác FAD(c.g.c)                        (2)

EF=DF                                                                                                (4)

Từ (1) và (2) =>Tam giác BED=Tam giác CFE

=>ED=FE                                                                                            (5)

Từ (3);(4);(5) => DF=DE=FE

=> Tam giác DEF là tam giác đều

hình như đề sai, phải có điểm F chứ

a: Ta có: AD+DB=AB

BE+EC=BC

CF+FA=CA

mà AB=BC=CA và AD=BE=CF

nên DB=EC=FA

ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ACB}=\hat{ABC}=\hat{BAC}=60^0\)

Xét ΔDBE và ΔECF có

DB=EC

\(\hat{DBE}=\hat{ECF}\)

BE=CF

Do đó: ΔDBE=ΔECF

=>DE=EF

Xét ΔDAF và ΔEBD có

DA=EB

\(\hat{DAF}=\hat{EBD}\)

AF=BD

Do đó: ΔDAF=ΔEBD

=>DF=ED

=>DF=ED=EF

=>ΔDEF đều

b: Ta có: \(\hat{ABN}+\hat{ABC}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{ACB}+\hat{BCK}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{BAC}+\hat{MAC}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\hat{BAC}\)

nên \(\hat{MAC}=\hat{ABN}=\hat{BCK}\)

MA+AB=MB

NB+BC=NC

KC+CA=KA

mà MA=NB=KC và AB=BC=CA

nên MB=NC=KA

Xét ΔMBN và ΔNCK có

MB=NC

\(\hat{MBN}=\hat{KCN}\)

BN=CK

Do đó: ΔMBN=ΔNCK

=>MN=NK

Xét ΔMAK và ΔNBM có

MA=NB

\(\hat{MAK}=\hat{NBM}\)

AK=BM

Do đó: ΔMAK=ΔNBM

=>MK=NM

=>MN=MK=NK

=>ΔMNK đều

- Do BE=AF=CF(gt)

Và : AB=BC=CA(tg ABC đều)

=> BD=EC=FA

- Xét tg ADF và BED có :

AD=BE(gt)

BD=AF(cmt)

\(\widehat{A}=\widehat{B}\)(tg ABC đều)

=> Tg ADF=BED(c.g.c)

=> DF=DE(1)

- Cm tương tự với tg CFE và ADF

=> DF=FE(2)

- Từ (1) và (2)

=> DF=DE=FE

=> Tg DEF đều (đccm)

#H

A B C D E F

\(\Delta ABC\)đều (gt) nên AB = BC = AC ; góc A = góc B = góc C = 60⁰ mà AD = BE = CF (gt)

=> AB - AD = BC - BE = AC - CF <=> BD = CE = AF

\(\Delta ADF,\Delta BED\)có AD = BE (gt) ; góc DAF = góc EBD = 60⁰ (cmt) ; AF = BD (cmt) nên\(\Delta ADF=\Delta BED\left(c.g.c\right)\)

=> DF = ED (2 cạnh tương ứng) (1)

\(\Delta ADF,\Delta CFE\)có AD = CF (gt) ; góc DAF = góc FCE = 60⁰ (cmt) ; AF = CE (cmt) nên\(\Delta ADF=\Delta CFE\left(c.g.c\right)\)

=> DF = FE (2 cạnh tương ứng) (2).Từ (1) và (2),ta có DF = FE = ED.Vậy\(\Delta DEF\)đều

. Cho tam giác ABC, Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M và AC tại N. Chứng minh rằng MN = BM + CN