A B C D E F I K

Gọi I,K lần lượt là giao điểm của AB với DE, AC với DF

a) E đối xứng D qua AB \(\Rightarrow\) IE = ID; góc I = 90 độ

Xét tam giác AED có AI là đường trung tuyến (IE = ID) còn là đường cao (góc I = 90 độ)

nên tam giác AED cân tại A \(\Rightarrow\) AE = AD (1)

F đối xứng D qua AC \(\Rightarrow\) KF = KD; góc K = 90 độ

Xét tam giác AFD có AK là đường trung tuyến (KF = KD) còn là đường cao (góc K = 90 độ)

nên tam giác AFD cân tại A \(\Rightarrow\) AF = AD (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) AE = AF

b) không biết làm

https://lazi.vn/edu/exercise/cho-tam-giac-abc-goi-d-e-f-theo-thu-tu-la-trung-diem-cua-ab-bc-ca-goi-m-n-p-q-theo-thu-tu-la-trung-diem

Bạn xem tại link này nhé

Học tốt!!!!!!

a) Chứng minh tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật.

Vì $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $DM$.

Suy ra:$E$ là trung điểm của $DM$ và $DE\perp AB$.

Tương tự, $N$ đối xứng với $D$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $DN$.

Suy ra: $F$ là trung điểm của $DN$ và $DF\perp AC$.

Mà $AB\perp AC$ nên:

$DE\parallel AC,\quad DF\parallel AB$.

Lại có: $AE\subset AB,\quad AF\subset AC$.

Suy ra: $AE\parallel DF,\quad AF\parallel DE$.

Vậy $AEDF$ là hình bình hành.

Mặt khác: $\widehat{EAF}=90^\circ$.

Do đó: $\boxed{AEDF \text{ là hình chữ nhật}}$.

b) Chứng minh tứ giác $ADBM$ là hình thoi.

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ trong tam giác vuông $ABC$ nên: $DA=DB=DC$.

Lại có $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên: $AD=AM,\quad BD=BM$.

Suy ra: $AD=DB=BM=MA$.

Vậy: $ADBM$ là hình thoi.

c) Chứng minh $M$ đối xứng với $N$ qua $A$.

Do $M$ là ảnh của $D$ qua $AB$ nên: $AM=AD$.

Do $N$ là ảnh của $D$ qua $AC$ nên: $AN=AD$.

Suy ra: $AM=AN$.

Mặt khác, vì $AB\perp AC$ nên hai phép đối xứng qua $AB$ và $AC$ biến $D$ thành $M$ và $N$ đối xứng nhau qua điểm $A$.

Hay: $A$ là trung điểm của $MN$.

Vậy: $M$ và $N$ đối xứng nhau qua $A$.

d) Điều kiện để $AEDF$ là hình vuông.

Vì $AEDF$ là hình chữ nhật nên để là hình vuông cần: $AE=AF$.

Mà: $AE=\dfrac{DM}{2},\quad AF=\dfrac{DN}{2}$.

Do đó: $DM=DN$.

Vì $M,N$ lần lượt là ảnh của $D$ qua $AB,AC$ nên:

$DM=2\,d(D,AB),\quad DN=2\,d(D,AC)$.

Suy ra: $d(D,AB)=d(D,AC)$.

Tức là $D$ nằm trên phân giác góc $A$.

Vì $\widehat{A}=90^\circ$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi: $AB=AC$.

Hay tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Vậy: Nếu AB=AC thì AEDF là hình vuông.

Em tham khảo tại đây nhé.

Câu hỏi của nguuen thi minh tam - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath