a. xét △ABH và △ACH , có:

\(AB=AC\left(gt\right);\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(gt\right);HB=HC\left(gt\right)\)

=> △ABH = △ACH (c-g-c)

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (2 góc tương ứng)

b. ta có: \(BH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\cdot12=6\left(cm\right)\)

áp dụng định lý pythagore vào △ABH vuông tại B ta có:

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

c. xét △ vuông AMH và △ vuông ANH có: 

AH cạnh chung; \(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\left(\text{câu a}\right)\)

=> △ AMH = △ANH (ch-gn)

=> HM = HN (2 cạnh tương ứng)

d. △ AMH = △ANH (câu c) => AM = AN

=> △AMN là △ cân tại A

xét △AMN có: \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

xét △ABC có: \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

TỪ (1) (2) \(=>\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> MN // BC

a, xét tam giác AMB và tam giác AMC có:

                AB=AC(gt)

                \(\widehat{BAM}\)   =\(\widehat{CAM}\)(gt)

                AM chung

suy ra tam giác AMB= tam giác AMC(c.g.c)

b,xét tam giác AHM và tam giác AKM có:

                AM cạnh chung

                \(\widehat{HAM}\)=\(\widehat{KAM}\)(gt)

suy ra tam giác AHM=tam giác AKM(CH-GN)

Suy ra AH=AK

c,gọi I là giao điểm của AM và HK

xét tam giác AIH và tam giác AIK có:

            AH=AK(theo câu b)

            \(\widehat{IAH}\)=\(\widehat{IAK}\)(gt)

            AI chung

suy ra tam giác AIH=tam giác AIK (c.g.c)

Suy ra \(\widehat{AIH}\)=\(\widehat{AIK}\)mà 2 góc này ở vị trí kề bù nên \(\widehat{AIH}\)=\(\widehat{AIK}\)= 90 độ

\(\Rightarrow\)HK vuông góc vs AM

a. △ABC cân tại A, lại có AH là đường cao

=> AH cũng là đường trung tuyến, đường phân giác

=> HB = HC và \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)

b. ta có: \(HB=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\cdot6=3\left(cm\right)\)

áp dụng định lý pythagore vào △BAH vuông tại H ta có:

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}\left(cm\right)\)

c. xét △ vuông HMB và △ vuông HNC có

HB = HC (gt); \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)  (△ABC cân tại A)

=> △HMB = △HNC (ch-gn)

=> HM = HN (2 cạnnh tương ứng)

=> △MHN là △ cân (tại H)

a. △ABC cân tại A, lại có AH là đường cao

=> AH cũng là đường trung tuyến; đường phân giác

=> HB = HC

áp dụng định lý pythagore vào △ABH vuông tại B ta có:

b. xét △ vuông AMH và △ vuông ANH có

AH cạnh chung; góc MAH = góc NAH (câu a)

=> △ AMH = △ANH (ch-gn)

=> HM = HN (2 cạnh tương ứng)

△ AMH = △ANH (câu b) => AM = AN
=> △AMN là △ cân tại A
xét △AMN có: \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)
xét △ABC có: \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)
TỪ (1) (2) \(=>\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> MN // BC

c. ta có MN // BC (câu B) (3)

vì MK ⊥ BC và NP ⊥ BC

=> MK // NP (4)

từ (3) (4) => tứ giác MNPK là HCN

=> MN = KP 

a) Có AB=AC=10cm

=> \(\Delta\)ABC cân tại A

b) Có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\\\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\end{cases}}\)

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)=> AH là phân giác \(\widehat{BAC}\)

Ta có: AB=AC (gt)

AH chung

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BAH=\Delta CAH\)

c) Có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{MBH}=\widehat{NCH}\\\widehat{BMH}=\widehat{HNC}=90^o\\BH=CH\left(\Delta AHB=\Delta ACH\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta BHM=\Delta CHN}\)

d) \(BH=\frac{1}{2}BC=\frac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

e) Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{OBC}=90^o-\widehat{ABC}\\\widehat{OCB}=90^o-\widehat{ACB}\end{cases}}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

\(\Rightarrow\Delta\)OBC cân tại O

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\hat{HAB}=\hat{HAC}\)

=>AH là phân giác của góc BAC

b: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔANH vuông tại N có

AH chung

\(\hat{MAH}=\hat{NAH}\)

Do đó; ΔAMH=ΔANH

=>AM=AN và HM=HN

AM=AN nên A nằm trên đường trung trực của MN(1)

HM=HN nên H nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra AH là đường trung trực của MN

=>AH⊥MN tại K và K là trung điểm của MN

c: Ta có: HM=HN

HM=HP

Do đó: HN=HP

=>ΔHNP cân tại N

ΔAHB=ΔAHC

=>HB=HC

Xét ΔHMB vuông tại M và ΔHNC vuông tại N có

HB=HC

HM=HN

Do đó: ΔHMB=ΔHNC

=>\(\hat{MHB}=\hat{NHC}\)

mà \(\hat{MHB}=\hat{PHC}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{PHC}=\hat{NHC}\)

=>HC là phân giác của góc NHP

ΔNHP cân tại H

mà HC là đường phân giác

nên HC là đường trung tuyến của ΔNHP

=>E là trung điểm của NP

Xét ΔPMN có

ME,NH là các đường trung tuyến

ME cắt NH tại Q

Do đó: Q là trọng tâm của ΔPMN

Xét ΔPMN có

Q là trọng tâm

K là trung điểm của MN

Do đó: P,Q,K thẳng hàng