Tọa độ G là;

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+2+0}{3}=2\\y=\dfrac{0-4-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)

Tọa độ M là:

x=(2+0)/2=1 và y=(-4-2)/2=-3

Tọa độ N là:

x=(4+0)/2=2 và y=(0-2)/2=-1

Tọa độ P là;

x=(4+2)/2=3 và y=(0-4)/2=-2

Tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2+3}{3}=2\\y=\dfrac{-3-1-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)

=>Tam giác ABC và tam giác MNP có chung trọng tâm

a: Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x=\frac{1-2+6}{3}=\frac{7-2}{3}=\frac53\\ y=\frac{8-1+3}{3}=\frac{11-1}{3}=\frac{10}{3}\end{cases}\)

=>G(5/3;10/3)

H là trực tâm của ΔABC

=>CH⊥AB; BH⊥AC; AH⊥BC

A(1;8); B(-2;-1); C(6;3); H(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;-1-8\right)=\left(-3;-9\right)\) ; \(\overrightarrow{CH}=\left(x-6;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(6-1;3-8\right)=\left(5;-5\right)\) ; \(\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) (BH⊥AC)

=>5(x+2)+(-5)(y+1)=0

=>x+2-(y+1)=0

=>x+2-y-1=0

=>x-y+1=0

=>x=y-1

\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) (CH⊥AB)

=>-3(x-6)+(-9)(y-3)=0

=>(x-6)+3(y-3)=0

=>x-6+3y-9=0

=>x+3y-15=0

=>x=-3y+15

=>-3y+15=y-1

=>-4y=-16

=>y=4

=>x=y-1=4-1=3

=>H(3;4)

I(x;y); A(1;8); B(-2;-1); C(6;3)

\(IA^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-8\right)^2\)

\(IB^2=\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

\(IC^2=\left(x-6\right)^2+\left(y-3\right)^2\)

I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

=>IA=IB=IC

=>\(\begin{cases}IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2-2x+1+y^2-16y+64=x_{}^2+4x+4+y^2+2y+1\\ x^2-2x+1+y^2-16y+64=x^2-12x+36+y^2-6y+9\end{cases}\)

=>-2x-16y+65=4x+2y+5 và -2x-16y+65=-12x-6y+45

=>-2x-4x-16y-2y=5-65 và -2x-16y+12x+6y=45-65

=>-6x-18y=-60 và 10x-10y=-20

=>x+3y=10 và x-y=-2

=>x+3y-x+y=10+2

=>4y=12

=>y=3

x-y=-2

=>x=y-2=3-2=1

=>I(1;3)

b: I(1;3); H(3;4); G(5/3;10/3)

\(\overrightarrow{IH}=\left(3-1;4-3\right)=\left(2;1\right);\overrightarrow{IG}=\left(\frac53-1;\frac{10}{3}-3\right)=\left(\frac23;\frac13\right)\)

Vì \(2:\frac23=1:\frac13\)

nên I,H,G thẳng hàng

Do G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{BG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)

I đối xứng B qua G \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BI}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

a: Gọi N là giao điểm của AG và BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

AG cắt BC tại N

Do đó: N là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AN là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: AG=2GN

Xét ΔGBC có GN là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\cdot\overrightarrow{GN}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\cdot\overrightarrow{GN}+2\cdot\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)

\(=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=3\cdot\overrightarrow{MG}\)