a: \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{MC}=3\cdot\overrightarrow{MA}\)

=>MC=3MA và A nằm giữa M và C

MA+AC=MC

=>AC=MC-MA=3MA-MA=2MA

\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\)

\(=\overrightarrow{BA}+2\cdot\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}+2\cdot\overrightarrow{CB}+2\cdot\overrightarrow{BA}=3\cdot\overrightarrow{BA}-2\cdot\overrightarrow{BC}\)

a: \(\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\)

a) ta có vector AA'+vectorBB'+vectorCC'=1/2(vectorAB+vectorAC+vectorBA+vectorBC+vectorCA+vectorCB)=vector 0

t/c trung tuyến

Lời giải:

Ta có:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{MN}\)

Vì $AM,BN$ là trung tuyến nên $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với $AB$

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). Do đó:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BN}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BN}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}\)

Hình vẽ:

\(\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)