Gọi $D$ là giao điểm của $AG$ và $BC\Rightarrow DB=DC$.

Ta có 𝐵𝐺=23𝐵𝐸BG=32​BE; 𝐶𝐺=23𝐶𝐹CG=32​CF (tính chất trọng tâm).

Vì $BE=CF$ nên $BG=CG\Rightarrow △BCG$ cân tại $G$

⇒𝐺𝐶𝐵^=𝐺𝐵𝐶^⇒GCB=GBC

Xét $△BFC$ và $△CEB$ có $CF=BE$ (giả thiết);

𝐺𝐶𝐵^=𝐺𝐵𝐶^GCB=GBC (chứng minh trên);

$BC$ là cạnh chung.

Do đó $△BFC=△CEB$ (c.g.c)

⇒𝐹𝐵𝐶^=𝐸𝐶𝐵^⇒FBC=ECB (hai góc tưong ứng)

$\Rightarrow △ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

Từ đó suy ra $△ABD=△ACD$ (c.c.c)

...

Vì BE và CF là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm của tam giác ABC Theo tính chất trọng tâm, ta có: Mà theo giả thiết , suy ra . Xét và có: (chứng minh trên) (hai góc đối đỉnh) và . Vì nên . Vậy (cạnh - góc - cạnh). Suy ra (hai cạnh tương ứng). Vì là trung điểm và là trung điểm nên: Do đó . Vậy cân tại . Bước 2: Chứng minh . Trong cân tại , đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời cũng là đường cao. Gọi là giao điểm của và . Vì là trọng tâm nên là đường trung tuyến thứ ba của tam giác. Vì cân tại nên đường trung tuyến cũng chính là đường cao ứng với cạnh . Suy ra , hay nói cách khác: (đpcm).

Vì BE và CF là hai đường trung tuyến bằng nhau nên ∆ABC cân tại A.

Gọi M là trung điểm của BC . trong tam giác cân ABC, đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao, suy ra AM vuông góc với BC .

Vì G là trọng tâm nên A,G,M thẳng hàng. Vậy AG vuông góc với BC.

Nếu BE = CF thì \triangle ABC cân tại A (tính chất: tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân). ​Chứng minh: GB = \frac{2}{3}BE, GC = \frac{2}{3}CF \Rightarrow GB = GC \Rightarrow \triangle GBC cân tại G. ​Gọi I là trung điểm BC. Trong tam giác cân ABC, đường trung tuyến AI đồng thời là đường cao. ​Vì G là trọng tâm nên G nằm trên AI. ​Vậy AG chính là đường thẳng AI \Rightarrow AG \perp BC.

Ta thiết lập hệ trục tọa độ Oxy theo cách đơn giản nhất: Đặt điểm C trùng với gốc tọa độ: C=(0;0) Đặt điểm B nằm trên trục Ox: B=(3k; 0) với k \neq 0 (để dễ tính tỷ lệ BG=2GC) Đặt tọa độ điểm A là $(x; y)$

• Vì  G𝐺 là trọng tâm của tam giác  ABC𝐴𝐵𝐶 (giao điểm của hai đường trung tuyến  BE𝐵𝐸 và  CF𝐶𝐹), ta có tính chất:
  BG=23BEvàCG=23CF𝐵𝐺=23𝐵𝐸và𝐶𝐺=23𝐶𝐹
• Mà theo giả thiết  𝐵𝐸 =𝐶𝐹, suy ra  𝐵𝐺 =𝐶𝐺.
• Xét  △BGC△𝐵𝐺𝐶 có  𝐵𝐺 =𝐶𝐺, nên  △BGC△𝐵𝐺𝐶 cân tại  G𝐺. Từ đó,  𝐺𝐵𝐶 =𝐺𝐶𝐵.
• Xét  △BFC△𝐵𝐹𝐶 và  △CEB△𝐶𝐸𝐵 có:
• • BC𝐵𝐶: cạnh chung.
  • 𝐵𝐶𝐹 =𝐶𝐵𝐸 (do  △BGC△𝐵𝐺𝐶 cân).
  • 𝐶𝐹 =𝐵𝐸 (giả thiết).
• Vậy  △𝐵𝐹𝐶 =△𝐶𝐸𝐵 (c.g.c).
• Suy ra  𝐹𝐵𝐶 =𝐸𝐶𝐵 (hai góc tương ứng), hay  𝐴𝐵𝐶 =𝐴𝐶𝐵.
• Do đó,  △ABC△𝐴𝐵𝐶 cân tại  A𝐴.

• Trong tam giác  ABC𝐴𝐵𝐶, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh  A𝐴 đi qua trọng tâm  G𝐺. Gọi  M𝑀 là giao điểm của  AG𝐴𝐺 và  BC𝐵𝐶, thì  AM𝐴𝑀 là đường trung tuyến của  △ABC△𝐴𝐵𝐶.
• Vì  △ABC△𝐴𝐵𝐶 cân tại  A𝐴, đường trung tuyến  AM𝐴𝑀 đồng thời cũng là đường cao.
• Vậy  𝐴𝑀 ⟂𝐵𝐶, hay  𝐴𝐺 ⟂𝐵𝐶 (đpcm).

AG VUÔNG GÓC BC