Bài 1:

  B D A H C E

Vì CD và CE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc C nên \(CD\perp CE\)

Kẻ \(CH\perp AB\)thì \(\widehat{CED}=\widehat{HCD}\)cùng phụ với \(\widehat{EDC}\)

Ta có : \(\widehat{HCA}=90^0-\widehat{HAC}=90^0-\left[180^0-\widehat{BAC}\right]=\widehat{BAC}-90^0\)

\(\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\left[180^0-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}\right]=90^0-\frac{1}{2}\left[\widehat{ABC}+\widehat{BAC}\right]\)

Do đó \(\widehat{HCD}=\widehat{HCA}+\widehat{ACD}=\frac{\widehat{BAC}-\widehat{ABC}}{2}\)nếu \(\widehat{BAC}>\widehat{ABC}\).

Nếu \(\widehat{BAC}< \widehat{ABC}\)thì \(\widehat{HCD}=\frac{\widehat{ABC}-\widehat{BAC}}{2}\)

Vậy \(\widehat{HCD}=\left|\frac{\widehat{BAC}-\widehat{ABC}}{2}\right|\).

2. Giả sử \(\widehat{B}>\widehat{C}\), ta có : \(\widehat{DAH}=\frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}\)

Suy ra \(\widehat{B}-\widehat{C}=2\widehat{DAH}=2\cdot15^0=30^0\)

Mặt khác \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)từ đó suy ra \(\widehat{B}=60^0,\widehat{C}=30^0\)

Nếu \(\widehat{B}< \widehat{C}\)thì chứng minh tương tự,ta có \(\widehat{B}=30^0,\widehat{C}=60^0\)

P/S : Hình bài 1 chỉ mang tính chất minh họa nhé

Theo yêu cầu vẽ hình của bạn Hyouka :)

2. 

:  B A C H D TH: ^B > ^C        B A C H D TH: ^B < ^C

a: Ta có: \(\hat{ABE}+\hat{ABC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{ABE}=180^0-\hat{ABC}\)

AE là phân giác ngoài tại đỉnh A của ΔABC

=>\(\hat{EAB}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{BAC}=90^0-\frac12\left(180^0-\hat{ABC}-\hat{ACB}\right)=\frac12\cdot\left(\hat{ABC}+\hat{ACB}\right)\)

Xét ΔEAB có \(\hat{EAB}+\hat{EBA}+\hat{AEB}=180^0\)

=>\(\hat{AEB}=180^0-180^0+\hat{ABC}-\frac12\cdot\left(\hat{ABC}+\hat{ACB}\right)=\frac12\cdot\left(\hat{ABC}-\hat{ACB}\right)\)

=1/2(L-F3)

b: \(\hat{AEB}=\frac12\left(L-F3\right)\)

=>L-F3=15 độ*2=30 độ

Xét ΔABC có \(\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180^0\)

=>\(L+F3=180^0-60^0=120^0\)

mà \(L-F3=30^0\)

nên \(L=\frac{120^0+30^0}{2}=75^0;F_3=75^0-30^0=45^0\)

22222222222222222222222

Gọi Ax là đường kéo dài tạo ra góc ngoài tại đỉnh A.

Ta có: \(\widehat{BAC}+\widehat{BAx}=180^o\) (kề bù)

hay \(60^o+\widehat{BAx}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAx}=180^o-60^o=120^o\)

Mà AE là tia p/g \(\widehat{BAx}\)

=> \(\widehat{BAE}=\widehat{EAx}=\frac{120^o}{2}=60^o\)

Lại có: \(\widehat{BAE}+\widehat{AEB}+\widehat{EBA}=180^o\) (tổng các góc của Δ)

hay \(60^o+15^o+\widehat{EBA}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EBA}=180^o-60^o-15^o=105^o\)

mà \(\widehat{BAC}+\widehat{C}=\widehat{EBA}\) (t/c góc ngoài của Δ)

hay \(60^o+\widehat{C}=105^o\Rightarrow\widehat{C}=105^o-60^o=45^o\)

Vậy \(\widehat{C}=45^o\)