a) Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ (cm)$.

Diện tích tam giác $ABC$ tính theo hai cách:

$\dfrac12AB\cdot AC=\dfrac12BC\cdot AH$

$\Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}\ (cm)$.

Trong tam giác vuông $ABH$ vuông tại $I$, ta có:

$\triangle ABH \sim \triangle HBI$ nên: $AB^2=BH\cdot BC$.

Mà: $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9}{5}$.

Lại có: $BI=\dfrac{BH\cdot BA}{AH}=\dfrac{\frac95\cdot3}{\frac{12}{5}}=\dfrac94\ (cm)$.

Vậy: $\boxed{BC=5cm,\ AH=\dfrac{12}{5}cm,\ BI=\dfrac94cm}$.

b) Ta có: $HI\parallel AC$ và $HK\parallel AB$ nên tứ giác $AIHK$ là hình chữ nhật.

Suy ra: $IK=AH$.

Mặt khác $M$ là trung điểm của $BC$, mà trong tam giác vuông $ABC$:

$MA=MB=MC$.

Do đó $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Đường thẳng $IK$ đi qua trung điểm các hình chiếu của $H$ trên $AB,AC$, suy ra:

$IK\parallel BC$.

Mà $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của tam giác vuông nên: $AM\perp IK$.

Vậy: $\boxed{IK=AH}$ và $\boxed{AM\perp IK}$.

c) Vì $AIHK$ là hình chữ nhật nên: $AI=HK,\ AK=HI$.

Lại có trong tam giác vuông $ABC$:

$HI=\dfrac{AH\cdot AB}{AC},\qquad HK=\dfrac{AH\cdot AC}{AB}$.

Suy ra: $AB\cdot AI=AB\cdot HK=AH\cdot AC=AC\cdot HI=AC\cdot AK$.

Vậy: $\boxed{AB\cdot AI=AC\cdot AK}$.

Từ đó: $\dfrac{AI}{AK}=\dfrac{AC}{AB}$.

Lại có: $\widehat{IAK}=\widehat{CAB}$.

Suy ra: $\triangle AIK\sim\triangle ACB$ (c.g.c).

Vậy: $\boxed{\triangle AIK\sim\triangle ACB}$.

 a) Ta có: E và M đối xứng với nhau qua D 
=> DE = DM ; ME vuông góc AB 
Ta có BD = DA ( D là trun điểm AB ) 
mà ME vuông góc AB ( cmt ) 
=> AB là trung trực của ME hay E và M đối xứng nhau qua D 
b) Xét Tam giác ABC có: 
M là trung điểm BC ( gt ) 
D là trung điểm AB ( gt) 
=> DM là đường trung bình tam giác ABC 
=> DM // AC; DM = 1/2AC 
mà E thuộc DM 
nên EM // AC 
Xét tứ giác AEMC có: 
EM // AC ( cmt) 
EM = AC ( cùng = 2DM ) 
=> Tứ giác AEMC là hình bình hành( tứ giác có 2 cạnh đối vừa // vừa = nhau là hình bình hành) 
c) Xét tứ giác AEBM có: 
ED = DM ( gt ) 
DB = AD ( gt ) 
=> Tứ giác AEBM là hình bình hành ( D/h 5 ) 
mà AB vuông góc EM 
=> hbh AEBM là hình thoi ( D/h 3 ) 
d) Ta có : AM = 1/2BC ( trung tuyến ứng với cạnh huyền) 
=> AM = 1/2 . BC = 1/2. 5 = 2,5 (cm) 
Chu vi hình thoi AEBM: 
2,5 . 4 =10 (cm) 

a)Ta có 

BK=KC (GT)

AK=KD( Đối xứng)

suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (1)

mà góc A = 90 độ (2)

từ 1 và 2 suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) ta có

BI=IA

EI=IK

suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành (1)

ta lại có 

BC=AD ( tứ giác ABDC là hình chữ nhật)

mà BK=KC

      AK=KD

suy ra BK=AK (2)

Từ 1 và 2 suy ra tứ giác AKBE là hình thoi

c) ta có

BI=IA

BK=KC

suy ra IK là đường trung bình

suy ra IK//AC

          IK=1/2AC

mà IK=1/2EK

Suy ra EK//AC 

           EK=AC

Suy ra tứ giác  AKBE là hình bình hành

B A C D E K

a: Xét tứ giác AIHK có \(\hat{AIH}=\hat{AKH}=\hat{IAK}=90^0\)

nên AIHK là hình chữ nhật

b: AIHK là hình chữ nhật

=>AH=IK

AIHK là hình chữ nhật

=>AH cắt IK tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và IK

=>\(OA=OH=\frac{AH}{2};OI=OK=\frac{IK}{2}\)

mà AH=IK

nen OA=OH=OI=OK

ΔHIB vuông tại I

mà IM là đường trung tuyến

nên MI=MH=MB

ΔHKC vuông tại K

mà KN là đường trung tuyến

nên NK=NH=NC

Xét ΔMIO và ΔMHO có

MI=MH

IO=HO

MO chung

Do đó: ΔMIO=ΔMHO

c: ΔMIO=ΔMHO

=>\(\hat{MIO}=\hat{MHO}=90^0\)

=>MI⊥IK tại I

Xét ΔNKO và ΔNHO có

NK=NH

OK=OH

NO chung

Do đó: ΔNKO=ΔNHO

=>\(\hat{NKO}=\hat{NHO}=90^0\)

=>NK⊥KI

mà MI⊥IK

nên NK//MI và MI⊥IK

=>MNIK là hình thang vuông