a: Xét tứ giác ABCE có \(\hat{BAC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên ABCE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EAC}=\hat{EBC}\)

b: Xét ΔABD vuông tại A có AB=AD

nên ΔABD vuông cân tại A

=>\(\hat{ABD}=\hat{ADB}=45^0\)

Xét ΔEFB vuông tại E có sin B=\(\frac{FE}{FB}\)

=>\(\frac{FE}{FB}=cos45=\frac{1}{\sqrt2}\)

Xét ΔFEB vuông tại E và ΔFAC vuông tại A có

\(\hat{EFB}\) chung

DO đó: ΔFEB~ΔFAC

=>\(\frac{FE}{FA}=\frac{FB}{FC}\)

=>\(\frac{FE}{FB}=\frac{FA}{FC}\)

Xét ΔFEA và ΔFBC có

\(\frac{FE}{FB}=\frac{FA}{FC}\)

góc F chung

Do đó: ΔFEA~ΔFBC

=>\(\frac{S_{FEA}}{S_{FBC}}=\left(\frac{FE}{FB}\right)^2=\frac12\)

=>\(S_{FEA}=\frac12\cdot S_{FBC}\)

\(S_{FEA}+S_{CEAB}=S_{FCB}\)

=>\(S_{CEAB}=S_{FBC}-\frac12\cdot S_{FBC}=\frac12\cdot S_{FBC}\)

=>\(S_{FEA}=S_{CEAB}\)

Sửa đề: Đường thẳng qua C vuông góc với AE tại K

a: ΔABD cân tại B

mà BH là đường cao

nên H là trung điểm của AD

ΔACE cân tại C

mà CK là đường cao

nên K là trung điểm của AE

Xét ΔADE có

H,K lần lượt là trung điểm của AD,AE

=>HK là đường trung bình của ΔADE

=>HK//DE và \(HK=\frac12DE\)

=>HK//BC

b: Chu vi tam giác ABC=10

=>AB+AC+BC=10

=>BD+BC+CE=10

=>DE=10

=>\(HK=\frac12\cdot DE=\frac12\cdot10=5\)

c: Gọi G,I lần lượt là giao điểm của HK và AB, HK với AC

Xét ΔABD có

H là trung điểm của AD

HG//BD

Do đó: G là trung điểm của AB

Xét ΔACE có

K là trung điểm của AC

KI//CE

Do đó: I là trung điểm của AC

Do đó: HK đi qua trung điểm của AB,AC

Bài 1:

a, Kéo dài BH cắt AC tại K

\(\Delta AHB=\Delta AHK\left(g.c.g\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB=AK=12cm\\HB=HK\end{cases}}\)

Ta có: \(KC=AC-AK=18-12=6\left(cm\right)\)

HM là đường trung bình của \(\Delta BKC\Rightarrow HM=\frac{1}{2}KC=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

Chúc bạn học tốt.

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)

mà AD+CD=AC(D nằm giữa A và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}=\dfrac{AD+CD}{6+10}=\dfrac{AC}{16}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AD}{6}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{CD}{10}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=3\left(cm\right)\\CD=5\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: BC=10cm; AD=3cm; CD=5cm

b) Ta có: \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó: \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\)

Xét ΔCED và ΔCAB có 

\(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\)(cmt)

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔCED\(\sim\)ΔCAB(c-g-c)