b: DE=4cm

a: Xét (A) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: BH=BD và AB là phân giác của góc HAD

AB là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét (A) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CE=CH và AC là phân giác của góc HAE

AC là phân giác của góc HAE

=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{DAE}=\hat{DAH}+\hat{EAH}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH làđường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=2\cdot8=16=4^2\)

=>AH=4(cm)

=>\(DE=2\cdot AH=2\cdot4=8\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét (O) có

ΔDHE nội tiếp

ED là đường kính

Do đó: ΔDHE vuông tại H

=>\(\hat{DHE}=90^0\)

d: Gọi O là trung điểm của BC

=>O là tâm đường tròn đường kính BC

ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên OA=OB=OC

=>A nằm trên (O)

Xét hình thang BDEC có

A,O lần lượt là trung điểm của DE,BC

=>AO là đường trung bình của hình thang BDEC

=>AO//BD//CE

=>AO⊥ED tại A

=>ED tiếp xúc với (O) tại A

=>ĐPCM

a: Xét tứ giác AHCE có \(\hat{AHC}+\hat{AEC}=90^0+90^0=180^0\)

nên AHCE là tứ giác nội tiếp

=>A,H,C,E cùng thuộc một đường tròn

b: Sửa đề: Chứng minh BH=BD; DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Vì BC⊥AH tại H

nên BC là tiếp tuyến tại H của (A;AH)

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔADB vuông tại D có

AB chung

AH=AD

Do đó: ΔAHB=ΔADB

=>BH=BD

Xét (O) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: AB là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét (O) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: AC là phân giác của góc HAE
=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{DAE}=\hat{DAH}+\hat{EAH}\)

\(=2\cdot\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=90^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

mà AD=AE

nên A là trung điểm của DE

Gọi M là trung điểm của BC

=>M là tâm đường tròn đường kính BC

ΔABC vuông tại A

=>A nằm trên đường tròn đường kính BC

=>A nằm trên (M)

Ta có: BD⊥DE

CE⊥DE

Do đó: BD//CE

Xét hình thang BDEC có

M,A lần lượt là trung điểm của BC,DE

=>AM là đường trung bình của hình thang BDEC

=>AM//CE//BD

=>AM⊥DE tại A

=>ED là tiếp tuyến tại A của (M)

c:

Gọi X là giao điểm của EH và BD

Xét (A) có

ΔDHE nội tiếp

DE là đường kính

Do đó: ΔDHE vuông tại H

=>DH⊥EH tại H

=>DH⊥XE tại H

=>ΔDHX vuông tại H

Ta có: \(\hat{BHD}+\hat{BHX}=\hat{XHD}=90^0\)

\(\hat{BDH}+\hat{BXH}=90^0\) (ΔDHX vuông tại H)

mà \(\hat{BHD}=\hat{BDH}\)

nên \(\hat{BHX}=\hat{BXH}\)

=>BH=BX

mà BH=BD

nên BX=BD(1)

Ta có: HK⊥DE

XD⊥ED

Do đó: HK//XD

Xét ΔEDB có KI//DB

nên \(\frac{KI}{DB}=\frac{EI}{EB}\) (2)

Xét ΔEBX có IH//BX

nên \(\frac{IH}{BX}=\frac{EI}{EB}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra KI=HI

=>I là trung điểm của HK

a: BC=5cm

AH=2,4cm

b: Xét (A) có 

CE là tiếp tuyến

CH là tiếp tuyến

Do đó: AC là tia phân giác của góc EAH(1)

Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến

BD là tiếp tuyến

Do đó: AB là tia phân giác của góc HAD(2)

Từ (1) và (2) suy ra E,A,D thẳng hàng

Tính AH ntn bạn ?

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC^2=3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

=>BC=5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=12/5=2,4(cm)

b: Xét (A;AH) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: AB là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét (A;AH) có

CH,CE là các tiếp tuyến

Do đó: AC là phân giác của góc HAE

=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)

Ta có: \(\hat{HAD}+\hat{HAE}=\hat{DAE}\)

=>\(\hat{DAE}=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

A B C H D E I

a/ Xét \(\Delta ABC\) có

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\) (1)

Ta có

\(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)

Ta có 

\(\widehat{ACE}=\widehat{ACB}\)  (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}\right)+\left(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}\right)=\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=180^o\) 

=> BD//CE (hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc trong cùng phía bù nhau thì chúng // với nhau)

Ta có 

\(AD\perp BD\Rightarrow AD\perp CE\)

\(AE\perp CE\Rightarrow AE\perp BD\)

=> AD và AE cùng vuông góc với BD => AD và AE trùng nhau (Từ 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho) => D; A; E thẳng hàng

b/

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A => A thuộc đường tròn đường kính BC. Gọi I là trung điểm BC nối AI ta có

BD//CE => BDEC là hình thang

AD=AE (bán kính (O))

IB=IC

=> AI là đường trung bình của hình thang BDEC => AI//CE mà \(CE\perp DE\Rightarrow AI\perp DE\) => DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC hay DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

a) Theo tính chất của hai của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE.
Suy ra: ^DAE=^DAB+^BAH+^HAC+^CAE=2^BAH+2^HAC=2^BAC=180o.
Do ^DAE=180o nên DE là đường kính, suy ra D, E, A thẳng hàng.
b) Theo câu a:  DE là đường kính đường tròn tâm A.
Có BD⊥DE,CE⊥DE. Suy ra BD//CE.

Gọi O là trung điểm BC.
Vậy tứ giác BDEC là hình thang. Do O và A lần lượt là trung điểm của BC, DE nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC.
Suy ra OA⊥DE mà OA=BC2  nên OA là bán kính của đường tròn đường kính BC.

Thế thì $DE$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$.