A B C M H K

a) Dễ thấy \(\Delta HBM\) và \(\Delta KCM\) là nửa các tam giác đều

Đặt BM = x ; CM = y \(\Rightarrow x+y=a\) (không đổi)

Ta có \(MH=sinB.BM=\frac{\sqrt{3}x}{2}\) ; \(MK=sinC.CM=\frac{\sqrt{3}y}{2}\)

\(\Rightarrow MH+MK=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)=\frac{\sqrt{3}a}{2}\) không đổi.

b) Vì MH + MK không đổi khi M di chuyển trên BC (câu a) nên MH.MK đạt giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow MH=MK\)

Theo bất đẳng thức Cosi, ta có : \(MH.MK\le\frac{\left(MH+MK\right)^2}{4}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)^2}{4}=\frac{3a^2}{16}\)

Vậy Max MH.MK \(=\frac{3a^2}{16}\Leftrightarrow MH=MK\Leftrightarrow MB=MC\Leftrightarrow\)M là trung điểm của BC

a: Gọi M là trung điểm của BC

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=a\)

ΔAHM vuông tại H

=>AH<=AM

=>DE<=AM

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M

=>H là trung điểm của BC

Vậy; \(DE_{\max}=AM=a\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\)

=>\(AD=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\)

=>\(AE=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(S_{ADHE}=AD\cdot AE=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{AH^3}{2a}\)

=>\(S_{ADHE}\) lớn nhất khi AH lớn nhất

mà AH<=a

nên \(S_{ADHE\left(max\right)}=\frac{a^3}{2a}=\frac{a^2}{2}\)

chắc bạn xem bộ đó rồi

ý bạn là j