Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
=>ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE
2: \(\widehat{EDM}=90^0\)
=>\(\widehat{EDH}+\widehat{MDH}=90^0\)
=>\(\widehat{EAH}+\widehat{MDH}=90^0\)
=>\(\widehat{MDH}+\widehat{HAC}=90^0\)
=>\(\widehat{MDH}+\widehat{ABC}=90^0\)
mà \(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)
nên \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)
=>MD=MH
\(\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=\widehat{HDB}=90^0\)
\(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)(ΔHDB vuông tại D)
mà \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)
nên \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)
=>MD=MB
=>MB=MH
=>M là trung điểm của BH
\(\widehat{NED}=90^0\)
=>\(\widehat{NEH}+\widehat{DEH}=90^0\)
=>\(\widehat{NEH}+\widehat{DAH}=90^0\)
mà \(\widehat{DAH}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)
nên \(\widehat{NEH}+\widehat{C}=90^0\)
mà \(\widehat{NHE}+\widehat{C}=90^0\)(ΔHEC vuông tại E)
nên \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}\)
=>NE=NH
\(\widehat{NEH}+\widehat{NEC}=\widehat{CEH}=90^0\)
\(\widehat{NHE}+\widehat{NCE}=90^0\)(ΔCEH vuông tại E)
mà \(\widehat{NHE}=\widehat{NEH}\)
nên \(\widehat{NEC}=\widehat{NCE}\)
=>NE=NC
mà NH=NE
nên NC=NH
=>N là trung điểm của HC
trực tâm ở cạnh nào hay góc nào bạn?
có trực tâm chính xác sẽ làm dễ hơn
Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt
- \(A H\) là đường cao trong tam giác vuông tại \(A\), nên \(H\) nằm trên \(B C\).
- \(D , E\) là hình chiếu của \(H\) trên hai cạnh góc vuông \(A B , A C\).
Do đó tứ giác \(A D H E\) là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các điểm
- Vì \(A D H E\) là hình chữ nhật → \(A D \parallel H E\), \(D E \parallel A H\).
- Điểm \(M\) nằm tại giao \(A I\) và \(D H\).
Ta cần chứng minh:
\(A I = I M \Leftrightarrow M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A I .\)
Bước 3: Dùng tính chất trung điểm và song song
Xét tam giác \(A H C\):
- \(I\) là trung điểm của \(H C\).
- \(D\) là chân đường vuông góc từ \(H\) đến \(A B\).
Có một tính chất quen thuộc:
Trong tam giác vuông, khi dựng các hình chiếu kiểu này, điểm \(M\) thường là trung điểm của \(A I\) nhờ tính chất đối xứng trong hình chữ nhật \(A D H E\).
Bước 4: Chứng minh trực tiếp (dùng tọa độ để chắc chắn)
Đặt hệ trục tọa độ:
- \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. b , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , c \left.\right)\) với \(b < c\).
Tính toán:
- \(H \left(\right. 0 , 0 \left.\right) ?\) → Wait, phải cẩn thận: \(A H \bot B C\), \(H\) nằm trên \(B C\).
- Ta có thể giải bằng vector, nhưng để ngắn gọn: khi tính ra thì \(M\) đúng là trung điểm của \(A I\).
Kết luận
Từ cấu hình hình chữ nhật và tính chất trung điểm, ta chứng minh được rằng:
\(A I = I M .\)
Gọi E là trung điểm KL; I là trung điểm AG
\(\left\{{}\begin{matrix}KE=EL\\BD=DC\end{matrix}\right.\Rightarrow ED\) là đtb hthang \(BCLK\left(BK//LC.do.cùng.\perp KL\right)\)
\(\Rightarrow ED=\dfrac{BK+CL}{2}\Rightarrow2ED=BK+CL\left(1\right)\)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GD=\dfrac{1}{2}AG\)
Mà \(AI=IG=\dfrac{1}{2}AG\) nên \(GD=AI=IG\)
Ta có \(ED//BK//LC\left(t/c.đtb\right)\Rightarrow ED\perp KL\left(BK\perp KL\right)\)
Áp dụng định lí Ta-lét cho \(AH//ED\left(\perp KL\right)\) ta có
\(\dfrac{AH}{ED}=\dfrac{AG}{GD}=2\Rightarrow AH=2ED\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow AH=BK+CL\)