TA có 

2S = a.ha = b.hb = c.hc

<=> 3a = 4b = 5c 

<=> \(\frac{a}{20}=\frac{b}{15}=\frac{c}{12}=t\) ( t > 0 )

=> a= 20t ; b = 15t ; c = 12t 

b^2 + c^2 = (15t)^2 + ( 12t)^2 = 225t^2 + 144t^2 = 369t^2 < 400t^2 = (20t)^2 = a^2 

=> b^2 + c^2 < a^2 

Ta có : a.h_a = b.h_b = c.h_c (cùng = 2 lần diện tích tam giác)

=> 3a = 4b = 5c => \(\frac{3a}{60}=\frac{4b}{60}=\frac{5c}{60}\)=> \(\frac{a}{20}=\frac{b}{15}=\frac{c}{12}\) 

Đặt  \(\frac{a}{20}=\frac{b}{15}=\frac{c}{12}\) = k ( k > 0 )  => a = 20k ; b = 15.k; c = 12.k

=> a² = 400k²; b² = 225k² ; c² = 144k²

=> b² + c² = 369k² < 400.k² => b² + c² < a²

Vậy....

10 nhe bn!

10

đúng đấy

Vì \(h_a,h_b,h_c\) tỉ lệ thuận với \(4,5,6\) nên ta có:

\(\dfrac{h_a}{4}=\dfrac{h_b}{5}=\dfrac{h_c}{6}\)

Đặt: \(\dfrac{h_a}{4}=\dfrac{h_b}{5}=\dfrac{h_c}{6}=k\\ \Rightarrow h_a=4k;h_b=5k;h_c=6k\)

\(S_{\Delta ABC}=a.h_a=b.h_b=c.h_c\\ hay:S_{\Delta ABC}=a.4k=b.5k=c.6k\\ \Rightarrow\dfrac{a}{5k}=\dfrac{b}{4k};\dfrac{a}{6k}=\dfrac{c}{4k}\\ hay:\dfrac{a}{30k}=\dfrac{b}{24k};\dfrac{a}{30k}=\dfrac{c}{20k}\\ \Rightarrow\dfrac{a}{30k}=\dfrac{b}{24k}=\dfrac{c}{20k}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{a}{30k}=\dfrac{b}{24k}=\dfrac{c}{20k}=\dfrac{a+b+c}{30k+24k+20k}=\dfrac{37}{\left(30+24+20\right)k}=\dfrac{37}{74k}=\dfrac{1}{2}k\)

Ta có:

\(\dfrac{a}{30k}=\dfrac{1}{2}k\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}k.30k=15k^2\)

\(\dfrac{b}{24k}=\dfrac{1}{2}k\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}k.24k=12k^2\)

\(\dfrac{c}{20k}=\dfrac{1}{2}k\Rightarrow\dfrac{1}{2}k.20k=10k^2\)

Vậy: c là cạnh có độ dài nhỏ nhất với độ dài: 10cm

Hướng dẫn thôi nhé, hình thì làm biếng quá:

Gọi hai đường cao lần lượt là \(AH=h_a\) và \(BK=h_b\)

a/ Xét hai tam giác vuông AHB và BKA

b/ Theo định lý đường xiên - đường vuông góc \(h_b\le a\)

Dấu "=" xảy ra khi tam giác vuông tại C

c/ Vẫn theo định lý đường xiên - đường vuông góc:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=h_a\le b\\b=h_b\le a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b\) đồng thời tam giác vuông tại C

Vậy tam giác vuông cân tại C