\(S_1=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot BC\cdot sinB\)

\(S_2=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot BC\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot sinC=\dfrac{3}{4}\cdot BC\cdot AB\cdot sinC\)

=>\(\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

=>Diện tích mới tạo thành bằng 3/2 lần diện tích cũ

Chọn D.

Diện tích tam giác ABC  ban đầu là

Khi tăng cạnh BC lên 2 lần và cạnh AC lên 3 lần thì diện tích tam giác ABC lúc này là

Xét ΔABC có

\(cosC=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)

=>\(\dfrac{8^2+6^2-AB^2}{2\cdot6\cdot8}=cos30=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(100-AB^2=48\sqrt{3}\)

=>\(AB=\sqrt{100-48\sqrt{3}}\simeq4,11\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot BC\cdot sinC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot sin30=3\cdot8\cdot\dfrac{1}{2}=3\cdot4=12\)

\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2-2.AC.BC.cosC}\)

\(AB=4,11\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}. AC.BC.sinC\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}. 8.6.sin 30^o\)

\(S_{ABC}=12\)

Tham khảo:

a) Đặt \(a = BC,b = AC,c = AB.\)

Ta có: \(p = \frac{1}{2}(15 + 18 + 27) = 30\)

Áp dụng công thức heron, ta có:

\({S_{ABC}} = \sqrt {30(30 - 15)(30 - 18)(30 - 27)}  = 90\sqrt 2 \)

Và \(r = \frac{S}{p} = \frac{{90\sqrt 2 }}{{30}} = 3\sqrt 2 \)

b) Gọi, H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và G xuống BC, M là trung điểm BC.

G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \frac{1}{3}AM\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow GK = \frac{1}{3}.AH\\ \Rightarrow {S_{GBC}} = \frac{1}{3}.\,{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.90\sqrt 2  = 30\sqrt 2 .\end{array}\)

a: A(3;1); B(1;3); C(3;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;3-1\right)=\left(-2;2\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(3-1;5-3\right)=\left(2;2\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(3-3;5-1\right)=\left(0;4\right)\)

b: \(AB=\sqrt{\left(-2\right)^2+2^2}=2\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{0^2+4^2}=4\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=2\sqrt2+2\sqrt2+4=4+4\sqrt2\)

Xét ΔABC có \(BA^2+BC^2=AC^2\)

nên ΔBAC vuông tại B

=>\(S_{BAC}=\frac12\cdot BA\cdot BC=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot2\sqrt2=4\)

c:

A(3;1); B(1;3); C(3;5)

Tọa độ trung điểm của AB là:

\(\begin{cases}x=\frac{3+1}{2}=\frac42=2\\ y=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm của AC là:

\(\begin{cases}x=\frac{3+3}{2}=\frac62=3\\ y=\frac{1+5}{2}=\frac62=3\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm của BC là:

\(\begin{cases}x=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\\ y=\frac{3+5}{2}=\frac82=4\end{cases}\)

Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x=\frac{3+1+3}{3}=\frac73\\ y=\frac{1+3+5}{3}=\frac93=3\end{cases}\)

=>G(7/3;3)

ΔBAC vuông tại B

=>ΔBAC nội tiếp đường tròn đường kính AC

=>Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBAC là trung điểm của AC

=>Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBAC là M(3;3)

ΔABC vuông tại B

=>B là trực tâm của ΔABC

=>Tọa độ trực tâm của ΔABC là B(1;3)

d: A(3;1);B(1;3)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;3-1\right)=\left(-2;2\right)=\left(-1;1\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

1(x-3)+1(y-1)=0

=>x-3+y-1=0

=>x+y-4=0

A(3;1); C(3;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(3-3;5-1\right)=\left(0;4\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-4;0)

Phương trình đường thẳng AC là:

-4(x-3)+0(y-1)=0

=>-4(x-3)=0

=>x-3=0

=>x=3

B(1;3); C(3;5)

\(\overrightarrow{BC}=\left(3-1;5-3\right)=\left(2;2\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-1;1)

Phương trình BC là:

-1(x-1)+1(y-3)=0

=>-x+1+y-3=0

=>-x+y-2=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\)

=>đường cao AH sẽ đi qua A(3;1) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình AH là:

2(x-3)+2(y-1)=0

=>x-3+y-1=0

=>x+y-4=0

B(1;3); M(3;3)

\(\overrightarrow{BM}=\left(3-1;3-3\right)=\left(2;0\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (0;-2)

Phương trình BM là:

0(x-01)+(-2)(y-3)=0

=>-2(y-3)=0

=>y-3=0

=>y=3

e: A(3;1) là trung điểm của NM

=>\(x_{N}+x_{M}=2\cdot3=6;y_{N}+y_{M}=2\cdot1=2\)

B(1;3) là trung điểm của MP

=>\(x_{M}+x_{P}=2\cdot1=2;y_{M}+y_{P}=2\cdot3=6\)

C(3;5) là trung điểm của NP

=>\(x_{N}+x_{P}=2\cdot3=6;y_{N}+y_{P}=2\cdot5=10\)

\(\left(x_{N}+x_{M}\right)-\left(x_{M}+x_{P}\right)=6-2=4\)

=>\(x_{N}-x_{P}=4\)

mà \(x_{N}+x_{P}=6\)

nên \(x_{N}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5;x_{P}=6-5=1\)

\(x_{M}=2-x_{P}=2-1=1\)

\(\left(y_{N}+y_{M}\right)-\left(y_{M}+y_{P}\right)=2-6\)

=>\(y_{N}-y_{P}=-4\)

mà \(y_{N}+y_{P}=10\)

nên \(y_{N}=\frac{-4+10}{2}=\frac62=3;y_{P}=10-3=7\)

\(y_{M}+y_{P}=6\)

=>\(y_{M}=6-7=-1\)

M(1;-1); N(5;3); P(1;7)

M(1;-1); P(1;7)

=>\(\overrightarrow{MP}=\left(1-1;7+1\right)=\left(0;8\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-8;0)

Phương trình MN là:

-8(x-1)+0(y+1)=0

=>-8(x-1)=0

=>x-1=0

=>x=1

N(5;3); P(1;7)

\(\overrightarrow{NP}=\left(1-5;7-3\right)=\left(-4;4\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình NP là:

1(x-5)+1(y-3)=0

=>x-5+y-3=0

=>x+y-8=0

...

Áp dụng định lý hàm cosin:

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2AB.BC.cosB}=\sqrt{2^2+3^2-2.2.3.cos60^0}=\sqrt{2}\)

Diện tích tam giác:

\(S=\dfrac{1}{2}AB.BC.sinB=\dfrac{1}{2}.2.3.sin60^0=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

Kẻ đường cao AH

\(\Rightarrow\Delta AHB\text{ vuông cân tại }H\\ \Rightarrow AH=HB=\cos45^0\cdot AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot4=2\sqrt{2}\\ \Rightarrow HC=BC-HB=5-2\sqrt{2}\\ \Rightarrow AC=\sqrt{HC^2+AH^2}\approx3,57\\ \Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot5=5\sqrt{2}\left(đvdt\right)\)