a/ Kẽ AG, DH lần lược vuông góc với BC tại G,H. BI, EJ lần lược vuông góc với AC tại I,J. CK, FL lần lược vuông góc với AB tại K,L

Tính \(S_{BCD}\)

Ta có: AG // DH

\(\Rightarrow\frac{DH}{AG}=\frac{BD}{BA}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{BCD}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.DH.BC}{\frac{1}{2}.AG.BC}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow S_{BCD}=\frac{S_{ABC}}{2}=\frac{126}{2}=63\)

Tính \(S_{CAE}\)

Ta có: EJ // BI

\(\Rightarrow\frac{EJ}{BI}=\frac{EC}{CB}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{CAE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.EJ.AC}{\frac{1}{2}.BI.AC}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow S_{CAE}=\frac{S_{ABC}}{3}=\frac{126}{3}=42\)

Tính \(S_{ABF}\)

Ta có: FL // CK

\(\Rightarrow\frac{FL}{CK}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{ABF}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.FL.AB}{\frac{1}{2}.CK.AB}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow S_{ABF}=\frac{S_{ABC}}{4}=\frac{126}{4}=31,5\)

b/ Kẽ AQ, ER lần lượt vuông góc với DC tại Q,R

Ta có: \(S_{ACD}=S_{ABC}-S_{BCD}=126-63=63=S_{BCD}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{ACD}}{S_{ECD}}=\frac{S_{BCD}}{S_{ECD}}=\frac{\frac{1}{2}.h_B.DC}{\frac{1}{2}.h_E.DC}=3\)

Xét \(\Delta ENP\approx\Delta AMP\)(\(\approx\)là đồng dạng)

\(\Rightarrow\frac{EP}{AP}=\frac{ER}{AQ}=\frac{S_{ECD}}{S_{ACD}}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow AP=3PE\)

Tương tự ta có:

\(\frac{BM}{MF}=?\)

\(\frac{CN}{ND}=??\)

c/ Ta có: 

\(\frac{S_{CPE}}{S_{CAE}}=\frac{\frac{1}{2}.h_P.EC}{\frac{1}{2}.h_A.EC}=\frac{EP}{EA}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow S_{CPE}=\frac{S_{CAE}}{4}=\frac{42}{4}=10,5\)

Tương tự \(\Rightarrow S_{BND}\)và \(S_{AMF}\)

\(S_{MNP}=S_{BDC}+S_{CAE}+S_{ABF}-S_{BND}-S_{CPE}-S_{AMF}\)

1.

Ta có:

$A = -3 - y^2 + xy + x + y$

Nhóm các hạng tử theo $x$:

$A = x(y+1) - y^2 + y - 3$

Với mỗi giá trị của $y$, biểu thức tăng theo $x$.

Ta biến đổi: $A = -y^2 + xy + y + x - 3$ $= -\left(y^2 - xy - y\right) + x - 3$

Hoàn thành bình phương theo $y$:

$A = -\left[y^2 - (x+1)y\right] + x - 3$

$= -\left[\left(y - \dfrac{x+1}{2}\right)^2 - \dfrac{(x+1)^2}{4}\right] + x - 3$

$= -\left(y - \dfrac{x+1}{2}\right)^2 + \dfrac{(x+1)^2}{4} + x - 3$

Vì: $\left(y - \dfrac{x+1}{2}\right)^2 \ge 0$ nên: $-\left(y - \dfrac{x+1}{2}\right)^2 \le 0$

Suy ra: $A \le \dfrac{(x+1)^2}{4} + x - 3$

Biểu thức này không bị chặn trên khi $x$ tăng vô hạn.

Ví dụ: chọn $y = \dfrac{x+1}{2}$ thì:

$A = \dfrac{(x+1)^2}{4} + x - 3$

Khi $x \to +\infty$ thì: $A \to +\infty$

Vậy biểu thức $A$ không có giá trị lớn nhất.

2.

Ta có tam giác $ABC$ đều cạnh $4$ nên:

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^\circ$.

Trong tam giác $NCB$:

$\widehat{NCB}=40^\circ,\ \widehat{CBN}=60^\circ$ nên: $\widehat{CNB}=80^\circ$.

Áp dụng định lí sin:

$\dfrac{NB}{\sin40^\circ}=\dfrac{BC}{\sin80^\circ}$

$\Rightarrow NB=\dfrac{4\sin40^\circ}{\sin80^\circ}$

Vì $CM$ là tia phân giác góc $NCB$ nên:

$\dfrac{NM}{MB}=\dfrac{NC}{CB}$

Suy ra:

$MB=\dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Diện tích tam giác $MBC$ là:

$S_{MBC}=\dfrac12 \cdot MB \cdot BC \cdot \sin60^\circ=\dfrac12 \cdot \dfrac{4\sqrt3}{3}\cdot4\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=4$

Do $D$ là trung điểm của $MC$ nên khoảng cách từ $D$ đến $BC$ bằng một nửa khoảng cách từ $M$ đến $BC$.

Lại có: $CD=CE$

suy ra: $S_{CDE}=\dfrac{MC}{4}$.

Mặt khác: $S_{MBD}=\sqrt3-\dfrac{MC}{4}$.

Do đó: $S_{CDE}+S_{MBD}=\dfrac{MC}{4}+\sqrt3-\dfrac{MC}{4}=\sqrt3$.

Vậy tổng diện tích hai tam giác $CDE$ và $MBD$ là:

$\boxed{\sqrt3}$.

Mình không biết vẽ hình khi trả lời nên bạn tự vẽ nhé

Đầu tiên chứng minh \(NE=\frac{1}{6}AN\)

Qua E kẻ đường thẳng song song BF cắt AC tại K

Theo ta-lét ta có:

\(\frac{FK}{FC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}\)=>\(\frac{FK}{ÀF}=\frac{1}{6}=\frac{NE}{AN}\)

Từ E,N,C kẻ các đường cao tới AB lần lượt là H,G,I

Theo talet ta có

\(\frac{EH}{CI}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3},\frac{NG}{EH}=\frac{AN}{AE}=\frac{6}{7}\)

=> \(\frac{NG}{CI}=\frac{2}{7}\)=> \(\frac{NG.AB}{CI.AB}=\frac{2}{7}\)

=> \(\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\)

Tương tự \(\frac{S_{BPC}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\),\(\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\)

=> \(S_{MNP}=S_{ABC}-S_{AMC}-S_{ABN}-S_{BCP}=\frac{1}{7}S_{ABC}\)

Vậy \(S_{MNP}=\frac{1}{7}S_{ABC}\)

a. Xét △ AFC và △ AEB có:

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\widehat{AFC}=\widehat{AEB}=90^0\)

⇒ △AFC đồng dạng với △ AEB(g.g)

⇒ \(\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\)

⇒ \(AB.AF=AE.AC\)

\(\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét △ AEF và △ ABC có :

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\left(cmt\right)\)

⇒△ AEF đồng dạng với △ ABC (c.g.c)

Mấy câu kia bạn tự làm nốt đi nhá.