Giải

Ta thấy đường trung bình tam giác ABC nên BEDC là hình thang, lại có\(BM=MC\cdot DN=NC\Rightarrow MN\)   là đường trung bình hình thang BEDC hay MN ong song DE và BC. Lại dùng đường trung bình thì 

\(MI=KN=\frac{DE}{2}\left(1\right)\)

\(MN=\frac{DE^2+BC}{2}\Rightarrow IK=MN-2MI=\frac{DE+BC}{2}-DE\)

\(=\frac{BC-DE}{2}=\frac{DE^2}{2}\left(BC=2DE\right)\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow Q\cdot E\cdot D\Rightarrowđcpm\)

Mình sẽ làm câu b trước rồi từ đó suy ra a
b)Giả sử MP=PQ=QN đã có từ trước
Xét △△ ABC có E là trung điểm AB,D là trung điểm AC \Rightarrow ED là đường trung bình của △△ ABC\Rightarrow ED//BC và ED=BC/2(*)
Xét hình thang EDBC có M là trung điểm BE,N là trung điểm CE \Rightarrow MN//BC( (*) (*) )
Từ (*)( (*) (*) ) \Rightarrow ED//MN
Xét △△ BED có M là trung điểm BE,MP//ED \Rightarrow MP là đường trung bình của △△ BED \Rightarrow MP=ED/2
Tương tự cũng có NQ=ED/2
Ta có :MP=PQ
\Leftrightarrow ED2=BC−ED2ED2=BC−ED2
\Leftrightarrow ED=BC-ED
\Leftrightarrow 2ED=BC
Tương tự với NQ và PQ cũng rứa
Vậy muốn NQ=PQ=MP thì 2ED=BC Điều này là hiển nhiên ở (*)
từ đó phát triển lên câu a)NQ=PQ=MP=1/2ED
\Rightarrow MN=3/2ED \RightarrowMN=3/4BC
Đúng thì thanks giùm nha

B A C D E K I I' D'

Từ I vẽ đường thẳng II' // BC

Từ D vẽ đường thẳng DD' // BC

=> II' // DD' . Mà I là trung điểm của DE

=> EI' = I'D' ( 1 )

Vì \(\Delta\)ABC cân tại A có DD' // BC => DB = D'C ( 2 )

Mà AD = CE => AE = DB ( 3 )

Từ ( 2 ) và ( 3 ) => D'C = AE ( 4 )

Từ ( 1 ) và ( 4 ) => AI' = 'IC

\(\Delta\)AKC có II' // KC ; AI' = I'C

=>AI = IK ( Đpcm )

A B C M D I K E F N

Gọi N là trung điểm của AM. Nối N với I & K.

Thấy ngay IN là đường trung bình của \(\Delta\)AMB => IN // AB hay IN // AE

Trong \(\Delta\)DAE: I thuộc DE; N thuộc AD; IN // AE => \(\frac{DI}{IE}=\frac{DN}{NA}\)(ĐL Thales) (1)

Tương tự với \(\Delta\)ADF: KN // AF => \(\frac{DK}{KF}=\frac{DN}{NA}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{DI}{IE}=\frac{DK}{KF}\). Xét \(\Delta\)EDF: \(\frac{DI}{IE}=\frac{DK}{KF}\)

=> IK // EF (ĐL Thales đảo) (đpcm).

thì gọi D là trung điểm của BC và M thuộc AD rồi tự tính -> ik song song ef