A B C D E M N I K

Dễ chứng minh I là trung điểm BD, K là trung điểm CE.

Ta có tính chất: Trong hình thang, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa hiệu độ dài hai đáy. (chưa nghĩ ra cách chứng minh)

Do đó xét hình thang BEDC có I và K là trung điểm hai đường chéo nên 

\(IK=\frac{BC-ED}{2}=\frac{BC-\frac{1}{2}BC}{2}=\frac{\frac{1}{2}BC}{2}=\frac{1}{4}BC=\frac{a}{4}\)

Từ từ nghĩ cách chứng minh tính chất trên nha!

Cách chứng minh tính chất ở đây nha:Tính chất

Xét ΔAMC có

N,D lần lượt là trung điểm của CM,CA

=>ND là đường trung bình của ΔAMC

=>ND//AM và \(ND=\frac12AM\)

ND//AM

=>IM//ND

Xét ΔBDN có

M là trung điểm của BN

MI//ND

Do đó: I là trung điểm của BD

Xét ΔDNB có

M,I lần lượt là trung điểm của BN,BD

=>MI là đường trung bình của ΔDNB

=>\(MI=\frac12ND=\frac12\cdot\frac12\cdot AM=\frac14AM\)

=>\(AI=\frac34AM\)

Xét ΔBAN có

E,M lần lượt là trung điểm của BA,BN

=>EM là đường trung bình của ΔBAN

=>EM//AN và \(EM=\frac{AN}{2}\)

EM//AN

=>KN//EM

Xét ΔMEC có

N là trung điểm của CM

NK//EM

Do đó: K là trung điểm của CE

Xét ΔMEC có

N,K lần lượt là trung điểm của CM,CE

=>NK là đường trung bình của ΔMEC

=>\(NK=\frac12EC=\frac12\cdot\frac12\cdot AN=\frac14AN\)

=>\(AK=\frac34AN\)

Xét ΔAMN có \(\frac{AK}{AN}=\frac{AI}{AM}\left(=\frac34\right)\)

nên KI//MN

Xét ΔAMN có KI//MN

nên \(\frac{KI}{MN}=\frac{AK}{AN}=\frac34\)

=>\(KI=\frac34\cdot MN=\frac34\cdot\frac13\cdot BC=\frac14BC\)

=>BC=4IK

Xét ΔBAN có

E,M lần lượt là trung điểm của BA,BN

=>EM là đường trung bình của ΔBAN

=>EM//AN và \(EM=\frac12AN\)

EM//AN

=>KN//EM

Xét ΔCEM có KN//EM

nên \(\frac{KN}{EM}=\frac{CN}{CM}=\frac12\)

=>\(KN=\frac12EM=\frac12\cdot\frac12\cdot NA=\frac14NA\)

=>\(AK=AN-\frac14AN=\frac34AN\)

Xét ΔAMC có

D,N lần lượt là trung điểm của CA,CM

=>DN là đường trung bình của ΔAMC

=>DN//AM và \(DN=\frac{AM}{2}\)

DN//AM

=>IM//DN

Xét ΔBDN có IM//DN

nên \(\frac{IM}{DN}=\frac{BM}{BN}=\frac12\)

=>\(IM=\frac12DN=\frac12\cdot\frac12\cdot AM=\frac14AM\)

=>\(AI=AM-\frac14AM=\frac34AM\)

BM=MN=NC

mà BM+MN+NC=BC

nên MN=BC/3=a/3

Xét ΔAMN có \(\frac{AI}{AM}=\frac{AK}{AN}\left(=\frac34\right)\)

nên IK//MN

Xét ΔAMN có IK//MN

nên \(\frac{IK}{MN}=\frac{AI}{AM}=\frac34\)

=>\(IK=\frac34MN=\frac34\cdot\frac{a}{3}=\frac{a}{4}\)