Lời giải:

a)

Tính chất: Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ bất kỳ, đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền.

Chứng minh:

Trên tia đối của tia $MA$ lấy $N$ sao cho $MA=MN$

Ta dễ dàng chứng minh được \(BACN\) là hình bình hành có 1 góc vuông nên là hình chữ nhật. Khi đó: \(MA=\frac{1}{2}NA=\frac{1}{2}BC\) (đpcm)

-------------------------

Áp dụng vào bài toán:

Xét tam giác vuông $AFH$ có $FI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(FI=\frac{1}{2}AH=IH\)

\(\Rightarrow \triangle IFH\) cân tại $I$

\(\Rightarrow \widehat{IFH}=\widehat{IHF}=90^0-\widehat{BAH}\)

Tương tự, trong tam giác vuông $BFC$: \(FK=KC\Rightarrow \) tam giác $KFC$ cân tại $K$

\(\Rightarrow \widehat{KFH}=\widehat{KCF}\)

Do đó:
\(\widehat{IFK}=\widehat{IFH}+\widehat{KFH}=90^0-\widehat{BAH}+\widehat{KCF}\)

Mà \(\widehat{BAH}=\widehat{KCF}\) (cùng bằng \(90^0-\widehat{BAC}\))

Suy ra: \(\widehat{IFK}=90^0\Rightarrow FK\perp FI\) (đpcm)

b)

\(FI=\frac{1}{2}AH=3\)

\(FK=\frac{1}{2}BC=4\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $FIK$

\(IK=\sqrt{FI^2+FK^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\) (cm)

Hình vẽ:

A. Chứng minh $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$

Ta có tam giác $ABC$ nhọn với các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $M$ là trung điểm $BC$.

$EF$ là đường nối hai chân cao từ $B$ và $C$. Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ với $BC$.

Theo tính chất hình học của trực tâm: $BCEF$ nội tiếp, suy ra

$IE \cdot IF = IB \cdot IC - MB \cdot MC = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$.

B. Chứng minh $MN \perp EF$, với $N$ là trung điểm $AH$

Gọi $N$ là trung điểm $AH$. $M$ là trung điểm $BC$.

Theo tính chất trực tâm và đường trung bình: đường nối $M$ và $N$ sẽ vuông góc với $EF$.

Vậy $IE \cdot IF = IM^2 - \frac{BC^2}{4}$ và $MN \perp EF$.

a)

Ta có $BE \perp AC,\ CF \perp AB$ nên: $\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ$.

Lại có: $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ (cùng phụ với $\widehat{BAC}$).

=> $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ (g.g).

Tỉ số đồng dạng: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

b)

Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.

=> $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ (g.g).

c)

Gọi $I = EF \cap BC$, $M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có hệ thức quen thuộc: $IE \cdot IF = IM^2 - MB^2$.

Mà $MB = \dfrac{BC}{2}$ nên: $MB^2 = \dfrac{BC^2}{4}$.

=> $IE \cdot IF = IM^2 - \dfrac{BC^2}{4}$.

d)

Gọi $N$ là trung điểm của $AH$.

Ta có $A,E,F,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ nên:
$N$ là tâm đường tròn đó.

=> $NE = NF$.

Do đó $N$ nằm trên đường trung trực của $EF$.

Mặt khác $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$ cố định.

=> $MN \perp EF$.

giúp mink với