A B C M H O E F D K I

1. Dễ thấy : Góc MKA = 90 độ (Chắn nửa cung tròn đường kính AM)

Lại có  AK vuông góc với BC tại D => MK // BC

2.  Ta có : Góc FBC = CAD ( cùng phụ với góc ACB)

Mà : Góc CAD = 1/2 sđ cung CK = góc CAK

=> Góc KBC = góc FBC = góc CAK = 1/2 sđ cung CK

Mà BC vuông góc với AK => Hai tam giác DBK và tam giác DBH bằng nhau (cgv.gnk) => DK = DH (Hai cạnh tương ứng)

3. Gọi I là trung điểm của BC . 

Ta có : BE vuông góc với AC ; MC vuông góc với AC

=> BE // MC

Tương tự ta có : MB // CF

suy ra tứ giác BHCM là hình bình hành => Hai đường chéo BC và HM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung điểm BC

=> I cũng là trung điểm của HM => đpcm.

I don't know

em mới học lớp 5

bài này làm tn v

a: Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có \(\hat{CEH}+\hat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó; ΔABN vuông tại B

=>BA⊥BN

mà CH⊥BA

nên CH//BN

Xét (O) có

ΔACN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔACN vuông tại C

=>AC⊥CN

mà BH⊥AC

nên BH//CN

Xét tứ giác BHCN có

BH//CN

BN//CH

Do đó: BHCN là hình bình hành

=>CB cắt HN tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của CB

nên M là trung điểm của HN

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,G,M thẳng hàng và \(AG=\frac23AM\)

Xét ΔAHN có

AM là đường trung tuyến

\(AG=\frac23AM\)

Do đó: G là trọng tâm của ΔAHN

Xét ΔAHN có

G là trọng tâm

O là trung điểm của AN

DO đó: H,G,O thẳng hàng

c: Xét (O) có

\(\hat{BQA};\hat{BCA}\) là các góc nội tiếp chắn cung BA

=>\(\hat{BQA}=\hat{BCA}\)

mà \(\hat{BCA}=\hat{BHD}\left(=90^0-\hat{EBC}\right)\)

nên \(\hat{BHQ}=\hat{BQH}\)

=>ΔBHQ cân tại B

mà BC là đường cao

nên BC là đường trung trực của HQ

=>H đối xứng Q qua BC

Xét (O) có

\(\hat{APB};\hat{ACB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{APB}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{ACB}=\hat{AHE}\left(=90^0-\hat{HAE}\right)\)

nên \(\hat{AHP}=\hat{APH}\)

=>ΔAPH cân tại A

ΔAPH cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là đường trung trực của PH

=>P đối xứng H qua AC

Xét (O) có

\(\hat{CRA};\hat{CBA}\) là các góc nội tiếp chắn cung CA

=>\(\hat{CRA}=\hat{CBA}\)

mà \(\hat{CBA}=\hat{AHF}\left(=90^0-\hat{HAF}\right)\)

nên \(\hat{ARH}=\hat{AHR}\)

=>ΔAHR cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là đường trung trực của HR

=>H đối xứng R qua AB

d: Qua A, kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

=>OA⊥ Ax tại A

Xét (O) có
\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{AEF}\left(=180^0-\hat{FEC}\right)\)

nên \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//EF

Ax//FE

OA⊥ Ax

Do đó: OA⊥ FE

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1. Xét tứ giác CEHD có :

CEH = 90 ( BE là đường cao )

CDH = 90 ( AD là đường cao )

⇒ CEH + CDH = 90 + 90 = 180

Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD

⇒ CEHD là tứ giác nội tiếp (đpcm)

2. BE là đường cao ( gt )

⇒ BE ⊥ AB ⇒ BFC = 90

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90 ⇒ E và F cùng nằm trên (O) đường kính AB

⇒ 4 điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn (đpcm)

3. Xét ΔAEH và ΔADC có :

AEH = ADC (=90)

A chung

⇒ ΔAEH ~ ΔADC

⇒ AE/AD = AH/AC

⇒ AE.AC = AH.AD

Xét ΔBEC và ΔADC có :

BEC = ADC (=90)

C chung

⇒ ΔBEC ~ ΔADC

⇒ AE/AD = BC/AC

⇒ AD.BC = BE.AC (đpcm)

4. Có : C1 = A1 (cùng phụ góc ABC)

C2 = A1 ( hai góc nối tiếp chắn cung BM )

⇒ C1 = C2 ⇒ CB là tia phân giác HCM

Lại có : CB ⊥ HM

⇒ Δ CHM cân tại C

⇒ CB là đường trung trực của HM

⇒ H và M đối xứng nhau qua BC (đpcm)

5. Có : Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn ( câu 2 )

⇒ C1 = E1 (hai góc nội tiếp cùng chắn BF) (*)

Có : Tứ giác CEHD nội tiếp (câu 1)

⇒ C1 = E2 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD ) (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra :

E1 = E2

⇒ EB là tia phân giác DEF

Cm tương tự ta được : FC là tia phân giác của DFE

Mà BE và CF cắt nhau tại H

⇒ H là tâm của đường tròn nội tiếp ΔDEF

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA⊥BK

mà CH⊥BA

nên CH//BK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CA⊥CK

mà BH⊥CA
nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của BC và HK