Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Sửa đề: HM⊥AB tại M
Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAHB vuông tại H có
\(\hat{MAH}\) chung
Do đó: ΔAMH~ΔAHB
=>\(\frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}\)
=>\(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔANH vuông tại N và ΔAHC vuông tại H có
\(\hat{NAH}\) chung
Do đó: ΔANH~ΔAHC
=>\(\frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}\)
=>\(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Xét ΔAMN và ΔACB có
\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
góc MAN chung
Do đó: ΔAMN~ΔACB
=>\(\frac{S_{AMN}}{S_{ACB}}=\left(\frac{AM}{AC}\right)^2=\left(\frac36\right)^2=\frac14\)
=>\(S_{ABC}=4\cdot S_{AMN}\)
b: ΔAMN~ΔACB
=>\(\hat{AMN}=\hat{ACB};\hat{ANM}=\hat{ABC}\)
DF//MN
=>\(\hat{ADF}=\hat{AMN}=\hat{ABC};\hat{AFD}=\hat{AMN}=\hat{ACB}\)
Xét ΔADF và ΔABC có
\(\hat{ADF}=\hat{ABC}\)
góc DAF chung
Do đó: ΔADF~ΔABC
=>\(\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
=>\(\frac{AD}{AF}=\frac{AB}{AC}\)
Xét ΔADB và ΔAFC có
\(\frac{AD}{AF}=\frac{AB}{AC}\)
góc DAB chung
Do đó: ΔADB~ΔAFC
=>\(\hat{AFC}=\hat{ADB}=90^0\)
=>CF⊥AB tại F
Xét ΔABC có
BD,AH là các đường cao
BD cắt AH tại E
Do đó: E là trực tâm của ΔABC
=>CE⊥AB
mà CF⊥AB
và CE,CF có điểm chung là C
nên C,E,F thẳng hàng
=>ΔAFE vuông tại F
Ta có: \(\hat{FAE}+\hat{FEA}=90^0\) (ΔFAE vuông tại F)
\(\hat{ABC}+\hat{FAE}=90^0\) (ΔAHB vuông tại H)
Do đó: \(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)
a) Chứng minh $\triangle AEB \sim \triangle AFC$
Xét hai tam giác $AEB$ và $AFC$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- Góc $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$.
Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ theo trường hợp góc-góc.
b) Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$
Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- Góc tại $E$ trong $\triangle AEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$.
Do đó $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc-góc.
c) Chứng minh ba điểm $M, K, N$ thẳng hàng
Gọi $D = AH \cap BC$,
- $DM \perp AB$ tại $M$,
- $DN \perp AC$ tại $N$,
- $DK \perp CF$ tại $K$.
Theo định lý ba đường vuông góc từ một điểm đến ba cạnh (hoặc định lý Desargues trong tam giác vuông) và tính chất trực tâm: các đường $DM$, $DN$, $DK$ đồng phẳng, nên ba điểm $M$, $K$, $N$ thẳng hàng.
a: Xét ΔDMC vuông tại M và ΔDMH vuông tại M có
DM chung
MC=MH
Do đó: ΔDMC=ΔDMH
b: ΔDMC=ΔDMH
=>\(\hat{DCM}=\hat{DHM}\)
mà \(\hat{DCM}=\hat{ABC}\) (ΔABC cân tại A)
nên \(\hat{DHM}=\hat{ABC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên DH//AB
c: Ta có: ΔDMC=ΔDMH
=>DC=DH
Ta có: \(\hat{DHC}+\hat{DHA}=\hat{AHC}=90^0\)
\(\hat{DCH}+\hat{DAH}=90^0\) (ΔAHC vuông tại H)
mà \(\hat{DHC}=\hat{DCH}\) (ΔDHC cân tại D)
nên \(\hat{DHA}=\hat{DAH}\)
=>DH=DA
mà DC=DH
nên DA=DC
=>D là trung điểm của AC
Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
AH chung
AB=AC
Do đó: ΔAHB=ΔAHC
=>HB=HC
=>H là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
BD,AH là các đường trung tuyến
BD cắt AH tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(GA=\frac23AH;GB=\frac23BD\)
Xét ΔGAB có GA+GB>AB
=>\(\frac23\left(AH+BD\right)>AB\)
=>\(AH+BD>\frac32AB\)
a) Chứng minh $\triangle AEB \sim \triangle AFC$
Xét hai tam giác $AEB$ và $AFC$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- Góc $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$.
Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ theo trường hợp góc-góc.
b) Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$
Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- Góc tại $E$ trong $\triangle AEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$.
Do đó $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc-góc.
c) Chứng minh ba điểm $M, K, N$ thẳng hàng
Gọi $D = AH \cap BC$,
- $DM \perp AB$ tại $M$,
- $DN \perp AC$ tại $N$,
- $DK \perp CF$ tại $K$.
Theo định lý ba đường vuông góc từ một điểm đến ba cạnh (hoặc theo tính chất trực tâm), ba điểm $M$, $K$, $N$ thẳng hàng.