Hình tự vẽ

a) Ta có : 

AG = GD . Mà GM = \(\frac{1}{2}\) AG 

=> GD = \(\frac{1}{2}\) AG 

Do AG = \(\frac{1}{3}\) AM

=> GD = \(\frac{2}{3}\) AM  (*)

Xét tứ giác GBDC ta có:

BM = MC ( gt ) (1)

GM= MD ( do GD = \(\frac{1}{2}\) AG ) (2)

Từ (1)(2) => Tứ giác GBDC là hình bình hành 

=> GC// và =BD ; BG // và =DC 

Xét tam giác ABD ta có:

AP = P B ( gt ) ( 3)

AG = GD ( gt ) (4)

Từ (3)(4) => PG là đường trung bình của tam giác ABD 

=> PG = \(\frac{1}{2}\)BD .Do BD = GC => PG=\(\frac{1}{2}\)GC 

Mà PG = \(\frac{1}{3}\)PC => GC =\(\frac{2}{3}\)PC(**)

Chứng mình tương tự . Xét tam giác ADC ( làm tường tự cái trên nha )

=> NG=\(\frac{2}{3}\)BN (***)

Từ (*)(**)(***) => Đpcm

b) Xét tam giác DBA ta có :

AG = GD ( gt )

BF=FD ( gt ) 

=> GF là đường trung bình bình của tam giác DAB 

=> GF = \(\frac{1}{2}\)AB( 5)

Ta có : DC = GB ( cm ở câu a )

Do BE = EG ; BG =\(\frac{2}{3}\)BN ( cm ở câu a)

=> EN = BG => EN= DC 

Mà BG// DC ( cm ở câu a) 

=> tứ giác ENCD là hình bình hành ( 1 cặp cạnh // và bằng nha )

=> DE=NC

Mà NC =\(\frac{1}{2}\)AC (6)

=> AN= NC 

Ta lại có BM=MC ( gt) => BI=\(\frac{1}{2}\)BC (7)

Từ (5)(6)(7) => Đpcm

mk pit làm phần a thui

vì AG=2GM 

+) AG=4 cm

=>4=2GM

=> MG=4:2=2 (cm)

+)gm+ag=am

+)mg=2 cm

+) ag=9cm

=>2+9=am

=> am=11 cm

tính độ dài đoạn cp và bn tương tự như trên

cảm ơn rất nhiều ạ

Cho tam giác HPG có 3 trung tuyến HM,PA,GB cắt nhau tại T . Biết TH = 3 cm,TP=TG=4 cm                               a, Tính HM,PA,GB.                                 b, Chứng minh tam giác HPG cân

Vì AM, BN, CP là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và G là giao điểm của BN và CP nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có tính chất trọng tâm:

\(\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{BG}{BN}=\dfrac{CG}{CP}=\dfrac{2}{3}\).

Ta có:

\(AG=\dfrac{2}{3}AM\)

Suy ra:

\(AM=\dfrac{3}{2}\cdot AG=\dfrac{3}{2}\cdot4=6\) (cm).

Tương tự:

\(BG=\dfrac{2}{3}BN\)

Suy ra:

\(BN=\dfrac{3}{2}\cdot BG=\dfrac{3}{2}\cdot6=9\) (cm).

\(CG=\dfrac{2}{3}CP\)

Suy ra:

\(CP=\dfrac{3}{2}\cdot CG=\dfrac{3}{2}\cdot6=9\) (cm).

Vậy \(AM=6\) cm; \(BN=CP=9\) cm.

Vì \(BN=CP\) nên:

\(\dfrac{2}{3}BN=\dfrac{2}{3}CP\)

Hay \(BG=CG\).

Mà G nằm trên BN và CP nên G là trung điểm của BC?

Lưu ý: Từ \(BG=CG\) và G nằm trên BC, ta cần biết G thuộc BC. Nhưng G là giao điểm hai đường trung tuyến BN và CP, không nằm trên BC nói chung. Vì vậy không thể kết luận như trên.

Ta có thể chứng minh bằng định lý Apollonius:

Vì N là trung điểm AC, P là trung điểm AB:

\(BN^2=\dfrac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}\)

\(CP^2=\dfrac{2AC^2+2BC^2-AB^2}{4}\)

Mà \(BN=CP\), suy ra:

\(2AB^2+2BC^2-AC^2=2AC^2+2BC^2-AB^2\)

\(3AB^2=3AC^2\)

Suy ra \(AB=AC\).

Vậy tam giác ABC cân tại A. (đpcm)

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy nên:

     \(\begin{array}{l}\dfrac{{GA}}{{AM}} = \dfrac{{GB}}{{BN}} = \dfrac{{GC}}{{CP}} = \dfrac{2}{3}\\ \to GA = \dfrac{2}{3}AM;GB = \dfrac{2}{3}BN;GC = \dfrac{2}{3}CP\end{array}\)

Vậy:

     \(GA + GB + GC = \dfrac{2}{3}AM + \dfrac{2}{3}BN + \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CP)\). 

Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AM}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Xét ΔABC có BN là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{BN}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)

Xét ΔCAB có CP là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{CP}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\)

\(=\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{CP}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}\right|=\left|\overrightarrow{CP}\right|=CP\)

mà \(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}\right|\le\left|\overrightarrow{AM}\right|+\left|\overrightarrow{BN}\right|=AM+BN\)

nên CP<=AM+BN(1)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{BN}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}\right|=\left|\overrightarrow{BN}\right|=BN\)

mà \(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}\right|\le\left|\overrightarrow{AM}\right|+\left|\overrightarrow{CP}\right|=AM+CP\)

nên BN<=AM+CP(2)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{AM}\)

=>\(\left|\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\right|=\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM\)

mà \(\left|\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\right|\le\left|\overrightarrow{BN}\right|+\left|\overrightarrow{CP}\right|=BN+CP\)

nên AM<=BN+CP(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AM,BN,CP là độ dài ba cạnh của một tam giác