Để chứng minh rằng cotC = 3cotB, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và công thức liên quan đến cotangent.

Vì ma = c là trung tuyến của tam giác ABC, ta có AM = MC. Do đó, ta có tam giác AMC là tam giác cân tại A.

Áp dụng công thức của cotangent trong tam giác cân, ta có cotC = cotA = cotB.

Vậy, ta có cotC = cotB.

Tuy nhiên, để chứng minh rằng cotC = 3cotB, cần thêm thông tin về tam giác ABC hoặc các điều kiện khác.

xét tam giác ABC ta có góc BMA=góc MAC +góc ACM ( góc ngoài của tam giác).

=> góc MAC = góc ABC- góc ACB (tam giác ABM cân vì AB=AM với AM là đường trung tuyến=> góc ABM= góc AMB).

=>S_ABC=\(\frac{AM.AC.sinMAC}{2}\)=\(\frac{AB.AC.sinA}{2}\)

mà S_ABC=S_ACM => sin A =sin(B-C)

=> ĐPCM

a)\(VT=sinA+sinB+sinC=2sin\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}\)

\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)=4cos\frac{C}{2}.cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}\)(đpcm)

b)Ta có:\(A+B+C=180^O\)

\(\Rightarrow tan\left(A+B\right)=tan\left(-C\right)=-tanC\)

\(\Leftrightarrow\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}=-tanC\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\left(đpcm\right)\)

AM là trung tuyến của tam giác ABC cân tại A

=> AM là đường trung trực của tam giác ABC

=> M là trung điểm của BC

=> \(BM=CM=\frac{BC}{2}=\frac{32}{2}=16\) (cm)

Tam giác ABM vuông tại M có:

\(AB^2=AM^2+BM^2\)

\(34^2=AM^2+16^2\)

\(AM^2=34^2-16^2\)

\(AM^2=1156-256\)

\(AM^2=900\)

\(AM=\sqrt{900}\)

\(AM=30\) (cm)

Chúc bạn học tốt

Tớ làm thế này có đúng ko nhé

Vì đường trung tuyến đi qua trung điểm của

đoạn thẳng BC

   Suy ra: BM=CM=32:2=16cm

Xét tam giác ABM và AMC

  AB=AC(gt)

  AM là cạnh chung

  MB=MC(gt)

⇒tam giác ABM=tam giác AMC(c.c.c)

Do đó góc AMB=góc AMC(1)

Mà góc AMB+gócAMC=180(kề bù)(2)

Từ 1 và 2 suy ra góc AMB= góc AMC=90 độ

    Xét tam giác ABM vuông tại M

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go ta có

 AM²+BM²=AB²

 AM²+16²=34²

 AM=34²-16²=900

 AM=30

vậy AM=30 cm

Áp dụng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác ta có
AM^2=(AB^2+AC^2)/2-BC^2/4
theo giả thiết ta có: AM=AB=c; AC=b, BC=a thay vào công thức trên bạn sẽ suy ra đc đpcm

Tọa độ trung điểm M của BC là:

\(\begin{cases}x_{M}=\frac12\cdot\left(x_{B}+x_{C}\right)=\frac12\cdot\left(1-1\right)=0\\ y_{M}=\frac12\cdot\left(y_{B}+y_{C}\right)=\frac12\cdot\left(7+0\right)=\frac72\end{cases}\)

=>M(0;3,5)

A(4;1); M(0;3,5)

\(\overrightarrow{AM}=\left(0-4;3,5-1\right)=\left(-4;2,5\right)\) =(-8;5)

=>Vecto pháp tuyến là (5;8)

Phương trình AM là:

5(x-0)+8(y-3,5)=0

=>5x+8y-28=0

Tọa độ trung điểm I của AB là:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac12\cdot\left(4+1\right)=\frac52\\ y_{I}=\frac12\cdot\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac12\cdot\left(1+7\right)=\frac82=4\end{cases}\)

=>I(2,5;4)

A(4;1); B(1;7)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1-4;7-1\right)=\left(-3;6\right)=\left(-1;2\right)\)

=>Đường trung trực của AB sẽ đi qua I(2,5;4) và nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường trung trực của AB là:

-1(x-2,5)+2(y-4)=0

=>-x+2,5+2y-8=0

=>-x+2y-5,5=0

\(tanB=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow B=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{B}=60^0\)

\(AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2+AC^2}=a\)

\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=-AB.AM.cos\widehat{BAM}=-\dfrac{a^2}{2}\)