Đề bài sai, phản ví dụ:

Tam giác ABC vuông tại A với \(AB=1;AC=\sqrt{3};BC=2\)

Khi đó \(AM=\dfrac{1}{2}BC=1=AB\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Góc \(B=60^0;A=90^0\)

Khi đó: \(sinA=1\) trong khi \(2sin\left(B-A\right)=2sin\left(-30\right)=-1\)

Để chứng minh rằng cotC = 3cotB, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và công thức liên quan đến cotangent.

Vì ma = c là trung tuyến của tam giác ABC, ta có AM = MC. Do đó, ta có tam giác AMC là tam giác cân tại A.

Áp dụng công thức của cotangent trong tam giác cân, ta có cotC = cotA = cotB.

Vậy, ta có cotC = cotB.

Tuy nhiên, để chứng minh rằng cotC = 3cotB, cần thêm thông tin về tam giác ABC hoặc các điều kiện khác.

Ta có:

\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM}\) (1)

Mặt khác: I là trung điểm AM

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{IM}\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AM}\)

a: Xét ΔDBC có DM là đường cao

nên \(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\cdot\overrightarrow{DM}\)

=>\(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=-2\cdot\overrightarrow{DA}\)

=>\(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}+2\cdot\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{BC}+\frac12\cdot\overrightarrow{MA}\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{BC}-\frac12\cdot\overrightarrow{AM}=\frac12\cdot\overrightarrow{BC}-\frac14\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\overrightarrow{AC}-\frac14\cdot\overrightarrow{AB}-\frac14\cdot\overrightarrow{AC}=-\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac34\cdot\overrightarrow{BA}+\frac14\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{BC}=\frac12\cdot\overrightarrow{BA}+\frac14\cdot\overrightarrow{BC}\)

a: \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\frac13\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac23\cdot\overrightarrow{BA}+\frac13\cdot\overrightarrow{BC}=\frac13\cdot\left(2\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)

\(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AH}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\overrightarrow{AM}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{BA}-\frac14\cdot\overrightarrow{BA}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac34\cdot\overrightarrow{BA}+\frac14\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac12\cdot\overrightarrow{BA}+\frac14\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=\frac14\left(2\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)

b: Vì \(\frac{\overrightarrow{BK}}{\overrightarrow{BH}}=\frac13:\frac14=\frac43\)

nên B,K,H thẳng hàng

a)  Phương trình đường thẳng AB đi qua 2 điểm A và B là: \(\frac{{x - 1}}{{ - 1 - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1 - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0\)

 Phương trình đường thẳng AC đi qua 2 điểm A và C là: \(\frac{{x - 1}}{{5 - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3 - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 3}}{{ - 6}} \Leftrightarrow 3x + 2y - 9 = 0\)

 Phương trình đường thẳng BC đi qua 2 điểm B và C là:

\(\frac{{x + 1}}{{5 + 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 3 + 1}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} \Leftrightarrow x + 3y + 4 = 0\)

b)  Gọi d là đường trung trực của cạnh AB.

 Lấy N là trung điểm của AB, suy ra \(N\left( {0;1} \right)\).

 Do \(d \bot AB\) nên ta có vecto pháp tuyến của d là: \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;2} \right)\)

 Vậy phương trình đường thẳng d đi qua N có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;2} \right)\) là:

\(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\)

c)  Do AH vuông góc với BC nên vecto pháp tuyến của AH là \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {3; - 1} \right)\)

 Vậy phương trình đường cao AH đi qua điểm A có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {3; - 1} \right)\)là: \(3\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y = 0\)

 Do M là trung điểm BC nên \(M\left( {2; - 2} \right)\). Vậy ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {1; - 5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AM}}}  = \left( {5;1} \right)\)

 Phương trình đường trung tuyến AM đi qua điểm A có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{AM}}}  = \left( {5;1} \right)\) là:

\(5\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 8 = 0\)

Tọa độ trung điểm M của BC là:

\(\begin{cases}x_{M}=\frac12\cdot\left(x_{B}+x_{C}\right)=\frac12\cdot\left(1-1\right)=0\\ y_{M}=\frac12\cdot\left(y_{B}+y_{C}\right)=\frac12\cdot\left(7+0\right)=\frac72\end{cases}\)

=>M(0;3,5)

A(4;1); M(0;3,5)

\(\overrightarrow{AM}=\left(0-4;3,5-1\right)=\left(-4;2,5\right)\) =(-8;5)

=>Vecto pháp tuyến là (5;8)

Phương trình AM là:

5(x-0)+8(y-3,5)=0

=>5x+8y-28=0

Tọa độ trung điểm I của AB là:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac12\cdot\left(4+1\right)=\frac52\\ y_{I}=\frac12\cdot\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac12\cdot\left(1+7\right)=\frac82=4\end{cases}\)

=>I(2,5;4)

A(4;1); B(1;7)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1-4;7-1\right)=\left(-3;6\right)=\left(-1;2\right)\)

=>Đường trung trực của AB sẽ đi qua I(2,5;4) và nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường trung trực của AB là:

-1(x-2,5)+2(y-4)=0

=>-x+2,5+2y-8=0

=>-x+2y-5,5=0

a.

\(\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)=2\left(2;-1\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận (2;-1) là 1 vtcp

Phương trình AB (qua A) có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-t\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{CB}=\left(5;-1\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (5;-1) là 1 vtcp

Phương trình BC (qua C) có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=5t_1\\y=1-t_1\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{CA}=\left(1;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng AC nhận (1;1) là 1 vtcp

Phương trình AC (qua A) có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t_2\\y=2+t_2\end{matrix}\right.\)

b.

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\left(1;-1\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng AM nhận (1;-1) là 1 vtcp

Phương trình AM (qua A) có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t_3\\y=2-t_3\end{matrix}\right.\)

c.

Đường thẳng AH vuông góc BC nên nhận (1;5) là 1 vtcp

Phương trình AH (qua A) có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t_4\\y=2+5t_4\end{matrix}\right.\)

d.

Trung trực AB vuông góc AB nên nhận (1;2) là 1 vtcp

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow N\left(3;1\right)\)

Trung trực AB đi qua N và có vtcp là (1;2) nên pt có dạng:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t_5\\y=1+2t_5\end{matrix}\right.\)