Xét tứ giác AMHN có góc ANM = góc AHM (1) (2 góc trong tứ giác nội tiếp cùng nhìn xuống cạnh AM)

Mà góc AHM = góc B = 90^o – BHM (2)

(1)(2) => góc ANM = góc B

Xét tam giác ANM và tam giác ABC có:

Góc A chung

Góc ANM = góc B

ð       tam giác ANM đồng dạng tam giác ABC (g – g)

ð       AN/AB = AM/AC

ð       AN.AC = AB.AM

+Xét tứ giác ANHM:

AMH^ = 90o (HM _|_ AB)

ANH^ = 90o (HN _|_ AC)

=> AMH^ + ANH^ = 180o => tứ giác ANHM nội tiếp

+ Ta có: AMN^ = AHN^ (cùng chắn cung AN của (ANHM))

AHN^ = ACB^ (cùng phụ HNC^)

=> AMN^ = ACB^

+Xét tam giác AMN và tam giác ACB:

A^ chung (gt);

AMN^ = ACB^ (cmt)

=> tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB\cdot AM=AN\cdot AC\left(đpcm\right)\)

a

Đường tròn $\left(O\right)$, đường kính $AH$ có ${\mathrm{\backslash (\backslash widehat\{AMH\}\backslash )}}^{}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow HM\perp AB$.

$\Delta AHB$ vuông tại $H$ có $HM\perp AB$

$\Rightarrow A{H}^2=AB.AM$.

Chứng minh tương tự $A{H}^2=AC.AN$.

\(\Rightarrow\) $AB.AM=AC.AN$.

B

Theo câu a ta có $AB.AM=AC.AN$

$\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

TRẢ HIỂU GÌ ?????????????????????

a: Xét ΔABC vuông tại A có HA là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{3^2}{5}=1,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔBHA vuông tại H có HM là đường cao

nên \(BM\cdot BA=BH^2\)

=>\(BM=\frac{1.8^2}{3}=\frac{3.24}{3}=1.08\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(HN\cdot AC=HA\cdot HC\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(HM\cdot AB=HA\cdot HB\)

\(HM\cdot AB+HN\cdot AC\)

\(=HA\cdot HC+HA\cdot HB\)

\(=HA\left(HB+HC\right)=HA\cdot BC\)

c: ΔHMB vuông tại M

mà MQ là đường trung tuyến

nên MQ=QH

=>ΔQMH cân tại Q

=>\(\hat{QMH}=\hat{QHM}\)

mà \(\hat{QHM}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, HM//AC)

nên \(\hat{QMH}=\hat{ACB}\)

ΔCNH vuông tại N

mà NK là đường trung tuyến

nên KN=KH

=>ΔKNH cân tại K

=>\(\hat{KNH}=\hat{KHN}\)

mà \(\hat{KHN}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, HN//AB)

nên \(\hat{KNH}=\hat{ABC}\)

Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>\(\hat{NMH}=\hat{NAH}\)

=>\(\hat{NMH}=\hat{HAC}\)

AMHN là hình chữ nhật

=>\(\hat{MNH}=\hat{MAH}=\hat{HAB}\)

\(\hat{KNM}=\hat{KNH}+\hat{MNH}\)

\(=\hat{HAB}+\hat{HBA}=90^0\)

=>KN⊥NM

\(\hat{NMQ}=\hat{NMH}+\hat{QMH}\)

\(=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>MN⊥MQ

mà KN⊥NM

nên KN//MQ

a) tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)

tam giác AHC vuông tại H có đường cao HF nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AF.AC=AH^2=AE.AB\)

b) \(AE.AB=AF.AC\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\\\angle BACchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)

c) Ta có: \(AH^4=AH^2.AH^2=AE.AB.AF.AC\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AB.AC=AH.BC\)

\(\Rightarrow AH^4=AE.AF.BC.AH\Rightarrow AH^3=AE.AF.BC\)

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

b) Ta có: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
nên \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAFE vuông tại A và ΔABC vuông tại A có 

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)(cmt)

Do đó: ΔAFE\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

a, BC=BH+HC=8BC=BH+HC=8

Áp dụng HTL: 

⎧⎪⎨⎪⎩AB2=BH⋅BC=16AC2=CH⋅BC=48AH2=CH⋅BC=12⇒⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩AB=4(cm)AC=4√3(cm)AH=2√3(cm){AB2=BH⋅BC=16AC2=CH⋅BC=48AH2=CH⋅BC=12⇒{AB=4(cm)AC=43(cm)AH=23(cm)

b,b, Vì K là trung điểm AC nên AK=12AC=2√3(cm)AK=12AC=23(cm)

Ta có tanˆAKB=ABAK=42√3=2√33≈tan490tan⁡AKB^=ABAK=423=233≈tan⁡490

⇒ˆAKB≈490