a: Xét ΔABC có BE,CF là các đường cao

nên \(BE\cdot AC=CF\cdot AB\)

mà AC>AB

nên BE<CF

BH⊥AC

CK⊥AC

Do đó: BH//CK

CH⊥AB

BK⊥AB

Do đó: CH//BK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

Xét ΔAHK có

I,M lần lượt là trung điểm của AK,HK

=>IM là đường trung bình của ΔAHK

=>IM//AH và \(IM=\frac12AH\)

b: Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,G,M thẳng hàng và AG=2/3AM

Xét ΔAHK có

AM là đường trung tuyến

AG=2/3AM

Do đó: G là trọng tâm của ΔAHK

Xét ΔAHK có

G là trọng tâm

I là trung điểm của AK

Do đó: H,G,I thẳng hàng

c: Xét ΔHBC có HD là đường cao

nên \(S_{HBC}=\frac12\cdot HD\cdot BC\left(1\right)\)

Xét ΔABC có AD là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot HD\cdot BC}{\frac12\cdot AD\cdot BC}=\frac{HD}{AD}\)

Xét ΔHAC có HE là đường cao

nên \(S_{HAC}=\frac12\cdot EH\cdot AC\) (3)

Xét ΔABC có BE là đường cao

nên \(S_{BAC}=\frac12\cdot BE\cdot AC\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot HE\cdot AC}{\frac12\cdot BE\cdot AC}=\frac{HE}{EB}\)

Xét ΔHAB có HF là đường cao

nên \(S_{HAB}=\frac12\cdot HF\cdot AB\) (5)

Xét ΔCAB có CF là đường cao

nên \(S_{CAB}=\frac12\cdot CF\cdot AB\) (6)

Từ (5),(6) suy ra \(\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot HF\cdot AB}{\frac12\cdot CF\cdot AB}=\frac{HF}{CF}\)

\(\frac{HF}{CF}+\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}\)

\(=\frac{S_{HAB}+S_{AHC}+S_{BHC}}{S_{ABC}}=1\)

a: Xét ΔABC có BE,CF là các đường cao

nên \(BE\cdot AC=CF\cdot AB\)

mà AC>AB

nên BE<CF

BH⊥AC

CK⊥AC

Do đó: BH//CK

CH⊥AB

BK⊥AB

Do đó: CH//BK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

Xét ΔAHK có

I,M lần lượt là trung điểm của AK,HK

=>IM là đường trung bình của ΔAHK

=>IM//AH và \(IM=\frac12AH\)

b: Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,G,M thẳng hàng và AG=2/3AM

Xét ΔAHK có

AM là đường trung tuyến

AG=2/3AM

Do đó: G là trọng tâm của ΔAHK

Xét ΔAHK có

G là trọng tâm

I là trung điểm của AK

Do đó: H,G,I thẳng hàng

c: Xét ΔHBC có HD là đường cao

nên \(S_{HBC}=\frac12\cdot HD\cdot BC\left(1\right)\)

Xét ΔABC có AD là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot HD\cdot BC}{\frac12\cdot AD\cdot BC}=\frac{HD}{AD}\)

Xét ΔHAC có HE là đường cao

nên \(S_{HAC}=\frac12\cdot EH\cdot AC\) (3)

Xét ΔABC có BE là đường cao

nên \(S_{BAC}=\frac12\cdot BE\cdot AC\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot HE\cdot AC}{\frac12\cdot BE\cdot AC}=\frac{HE}{EB}\)

Xét ΔHAB có HF là đường cao

nên \(S_{HAB}=\frac12\cdot HF\cdot AB\) (5)

Xét ΔCAB có CF là đường cao

nên \(S_{CAB}=\frac12\cdot CF\cdot AB\) (6)

Từ (5),(6) suy ra \(\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot HF\cdot AB}{\frac12\cdot CF\cdot AB}=\frac{HF}{CF}\)

\(\frac{HF}{CF}+\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}\)

\(=\frac{S_{HAB}+S_{AHC}+S_{BHC}}{S_{ABC}}=1\)

A B C D E F H K M I G

a) Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AC\\KC\perp AC\end{matrix}\right.\)       ⇒ \(BH\text{//}KC\) 

\(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp AB\\BK\perp AB\end{matrix}\right.\)       ⇒ \(CH\text{//}BK\)

\(Xét\) \(tứ\) \(giác\) \(BKCH\) \(có:\) \(\left\{{}\begin{matrix}BH\text{//}KC\\CH\text{//}BK\end{matrix}\right.\)

⇒ Tứ giác \(BKCH\) là hình hình hành. Mà M là trung điểm của đường chéo BC

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}H,M,K_{ }thẳng_{ }hàng\\HM=MK\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta AHK\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=IK\left(gt\right)\\HM=MK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

⇒ \(IM\) là đường trung bình của \(\Delta AHK\)

⇒ \(IM=\dfrac{1}{2}AH\)              \(\left(ĐPCM\right)\)

c)

Ta có:

\(\dfrac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HD.BC}{\dfrac{1}{2}.AD.BC}=\dfrac{HD}{AD}\)  

\(\dfrac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HE.AC}{\dfrac{1}{2}.BE.AC}=\dfrac{HE}{BE}\)

\(\dfrac{S_{\Delta HBA}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HF.AB}{\dfrac{1}{2}.CF.AB}=\dfrac{HF}{CF}\)

⇒ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{\Delta HBC}+S_{\Delta HAC}+S_{\Delta HAB}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABC}}\)

⇔ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\)          \(\left(ĐPCM\right)\)

Tgiac ABE và ACF có g BAC chung, g AFC=g BEA

=> tg ABE~tg ACF(gg)=> AB/AC=AE/AF

=> AB.AF=AC.AE

Xét tg AEF và ABC có g BAC chung, AE/AF=AB/AC(cm ý a)

=> tg AEF~tgABC(gg)

=> G ABC=g AEF

Bài 6 :

Tự vẽ hình nhá :)

a) Gọi O là giao điểm của AC và EF

Xét tam giác ADC có :

EO // DC => AE/AD = AO/AC (1)

Xét tam giác ABC có :

OF // DC

=> CF/CB = CO/CA (2)

Từ (1) và (2) => AE/AD + CF/CB = AO/AC + CO/CA = AO + CO/AC = AC/AC = 1 => đpcm

Bài 7 :

A B C D G K M F E

a) Do EF // AB => CF / CA = EF / AB => CF / EF = AC / AB (1)

Dựng MG // AC và M là trung điểm của cạnh BC => GM là đường trung bình của tam giác ABC => G là trung điểm của cạnh AB =>AG = BG

Do DK // GM => AD / AG = DK / GM => AD / BG = DK / GM 

=> DK / AD = GM / BG = \(\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{AB}{2}}=\frac{AC}{AB} \left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => CF / EF = DK / AD

Mà tứ giác ADEF là hình bình hành ( vì EF // AD và DE // AF ) nên AD = È

=> CF = DK ( đpcm )

Bài 8 : 

A B C M N 38 11 8

Ta có : AB = AM + MB = 11 + 8 = 19 ( cm )

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào tam giác ABC, ta có :

AM / AB = AN / AC => AM + AB / AB = AN + AC / AC => 19 + 11 / 19 = AN + 38 / 38 => 30/19 = 38 + AN / 38

=> 1140 = 19.AN + 722

=> AN = ( 1140 - 722 ) / 19 = 22 ( cm )

=> NC = 38 - 12 = 26 ( cm )

chắc sang năm mới làm xong mất 

( Tự vẽ hình )

a, Xét tam giác ABE và tam giác ACF có : 

Góc A chung 

Góc E = Góc F = 90 độ 

=> Tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF ( g.g) 

=> AB/AC = AE/AF

Hay AF . AB = AE . AC

b, AB/AC = AE/AF ( CM trên ) 

=> AB/AE = AC/AF

Xét tam giác AEF và tam giác ABC có :

AB/AE = AC/AF ( CM trên )

Góc A chung 

=> Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ( c.g.c ) 

=> Góc AEF = Góc ABC

c, Ta có : HF vuông góc với AB; DM vuông góc với AB => HF// DM 

=> AF/AM = AH/AD ( Theo định lý Ta lét )

Lại có : FE// MN => AF/AM = AE/AN ( Theo định lý Ta lét )

=> AH/AD = AE/AN

=> HE // DN ( Theo định lý Ta lét đảo )

Mà HE vuông góc với AC => DN vuông góc với AC