a, Ta có :

 \(AB^2+AC^2=3^2+4^2=25\)

\(BC^2=5^2=25\)

\(=> AB^2+AC^2=BC^2\)

\(=> \) △ABC vuông tại A

b, Xét △BAH và △BEH có :

\(\widehat{BHA}=\widehat{BHE}=90^o\)

BH : chung

HE = HA (GT)

=> △BAH = △BEH (c.g.c)

=> BA = BE (2 cạnh tương ứng)

c, Xét △CAH và △CEH có :

\(\widehat{CHA}=\widehat{CHE}=90^o\)

\(CH\) :chung

AH = HE (GT)

=> △CAH = △CEH (c.g.c)

=> \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)

=> CH là phân giác \(\widehat{ACE}\)

d, Xét △BAC và △BEC có :

\(BA=BE (câu a)\)

CA = CE (△CAH = △CEH)

BC : chung

=> △BAC = △BEC(c.c.c)

=> \(\widehat{BAC}=\widehat{BEC}\)

mà \(\widehat{BAC}=90^o\)

\(=> \widehat{BEC}=90^o\)

=> △BEC vuông tại E

a: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔBAE có

BH là đường cao

BH là đường trung tuyến

DO đó:ΔBAE cân tại B

hay BA=BE

c: Xét ΔCAE có 

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó:ΔCAE cân tại C

mà CB là đường cao

nên CB là tia phân giác của góc ACE

d: Xét ΔCAB và ΔCEB có

CA=CB

BA=BE

BC chung

DO đó:ΔCAB=ΔCEB

Suy ra: \(\widehat{CAB}=\widehat{CEB}=90^0\)

hay ΔBEC vuông tại E

                                                                  B A D E C

a) Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)( ĐL Py - ta - go )

\(BC^2=4^2+3^2\)

\(BC^2=16+9\)

\(BC^2=25\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

Vậy BC = 5cm

b) Xét \(\Delta BAE\)và \(\Delta DAE\)có :

                \(BA=AD\left(gt\right)\)

                \(\widehat{BAE}=\widehat{DAE}\left(=90^o\right)\)

                 AE chung

\(\Delta BAE=\Delta DAE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow BE=DE\)( 2 cạnh tương ứng )

và \(\widehat{BEA}=\widehat{DEA}\)( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{BEA}+\widehat{BEC}=180^o\)( kề bù )

     \(\widehat{DEA}+\widehat{DEC}=180^o\)( kề bù )

\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{DEC}\)

Xét \(\Delta BEC\)và \(\Delta DEC\)có :

                \(BE=ED\left(cmt\right)\)

            \(\widehat{BEC}=\widehat{DEC}\left(cmt\right)\)

                 EC chung

\(\Rightarrow\Delta BEC=\Delta DEC\left(c.g.c\right)\)

a) Vì tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí py-ta-go ta có:

BC^2 =AB^2+AC^2

BC^2= 3^2+4^2

BC^2=9+16

BC^2=25

BC=5 (cm)

b)Vì AD=AB

=> Tam giác ABD cân tại A

c)

Xét tam giác AED và tam Giác ACB có:

AD=AB(gt)

A1=A2 (2 góc đối đỉnh)

AE=AC(gt)

=>Tam giác AED=ACB(C.g.c)

=>DE=BC(2 Cạnh Tương ứng)

ghhbvjk

Ta đặt $H$ là trung điểm của $BC$ vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ và $AH\perp BC$.

Suy ra:

$BH=HC=\frac{BC}{2}$

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên:

$AB=AC$

Trong hai tam giác vuông $\triangle AHB$ và $\triangle DHC$:

$AH=HD$

$BH=HC$

$\widehat{AHB}=\widehat{DHC}=90^\circ$

Suy ra:

$\triangle AHB=\triangle DHC$

Do đó:

$AB=DC$

Mà $AB=AC$ nên:

$\boxed{AC=CD}$

Vậy $\boxed{\triangle ACD\text{ cân tại }C}$.

Ta có:

$AC=CD$ (câu a)

$CE=CB$

Mà:

$AC=AB$

và $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên:

$\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Do $E$ nằm trên tia đối của tia $CB$ nên:

$\widehat{ACE}=180^\circ-\widehat{ACB}$

Mặt khác, $D,H,B,C$ thẳng hàng và $\triangle DHC$ vuông tại $H$, suy ra:

$\widehat{DCE}=180^\circ-\widehat{DCH}$

Mà:

$\widehat{DCH}=\widehat{ACB}$

nên:

$\widehat{DCE}=180^\circ-\widehat{ACB}$

Suy ra:

$\widehat{ACE}=\widehat{DCE}$

Có:

$AC=DC$

$CE=CE$

$\widehat{ACE}=\widehat{DCE}$

Do đó:

$\boxed{\triangle ACE=\triangle DCE}$ (c.g.c)

Có một vấn đề: với đúng giả thiết bạn ghi thì mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp.

Đặt:

$BH=HC=x,\quad AH=h$

Khi đó:

$AB=AC=\sqrt{x^2+h^2}$

$BC=2x$

Ta có thể tính được:

$DK=\frac{2}{3}\sqrt{4x^2+h^2}$

Vì vậy bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\sqrt{x^2+h^2}+2x>\frac{4}{3}\sqrt{4x^2+h^2}$

Bất đẳng thức này không luôn đúng. Ví dụ lấy:

$BH=HC=1,\quad AH=10$

thì:

$AB=\sqrt{101}$

$BC=2$

$2DK=\frac{4\sqrt{104}}{3}\approx13,60$

nhưng:

$AB+BC\approx12,05<13,60$

Vì vậy câu c có thể bị thiếu điều kiện hoặc đề bị chép sai. N