Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 4:
Áp dụng định lý Pytago
\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC=2\)
Ta có:
\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=-\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2}=-\dfrac{2+4-2}{2}=-2\)
Câu 5:
Gọi M là trung điểm BC
\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
Mà: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
Câu 6:
\(\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=3\)
\(a^2+b^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=9\)
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\dfrac{1^2+2^2-9}{2}=-2\)
Câu 7:
\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}\right|\)
\(=\left|\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=BC=a\)
Lời giải:
a)
$2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD})$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$
Tương tự:
$\overrightarrow{BE}=\frac{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}}{2}$
$\overrightarrow{CF}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$
Cộng lại:
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}}{2}=\frac{\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}}{2}=\overrightarrow{0$}$
Ta có đpcm.
b)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FC}$
$=(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})+(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC})$
$=(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF})$
$=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{0}$ (theo phần a)
$=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$
Ta có đpcm.
Từ giả thiết ta có PN là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow\overrightarrow{PN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BM}\)
Do đó:
\(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{PC}\)
b.
Theo tính chất trọng tâm: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GM}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{GM}\Rightarrow2\overrightarrow{MG}=-\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GA}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}\)
a: A(3;1); B(1;3); C(3;5)
\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;3-1\right)=\left(-2;2\right)\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(3-1;5-3\right)=\left(2;2\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(3-3;5-1\right)=\left(0;4\right)\)
b: \(AB=\sqrt{\left(-2\right)^2+2^2}=2\sqrt2\)
\(BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2\)
\(AC=\sqrt{0^2+4^2}=4\)
Chu vi tam giác ABC là:
\(C_{ABC}=AB+AC+BC=2\sqrt2+2\sqrt2+4=4+4\sqrt2\)
Xét ΔABC có \(BA^2+BC^2=AC^2\)
nên ΔBAC vuông tại B
=>\(S_{BAC}=\frac12\cdot BA\cdot BC=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot2\sqrt2=4\)
c:
A(3;1); B(1;3); C(3;5)
Tọa độ trung điểm của AB là:
\(\begin{cases}x=\frac{3+1}{2}=\frac42=2\\ y=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\end{cases}\)
Tọa độ trung điểm của AC là:
\(\begin{cases}x=\frac{3+3}{2}=\frac62=3\\ y=\frac{1+5}{2}=\frac62=3\end{cases}\)
Tọa độ trung điểm của BC là:
\(\begin{cases}x=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\\ y=\frac{3+5}{2}=\frac82=4\end{cases}\)
Tọa độ trọng tâm G là:
\(\begin{cases}x=\frac{3+1+3}{3}=\frac73\\ y=\frac{1+3+5}{3}=\frac93=3\end{cases}\)
=>G(7/3;3)
ΔBAC vuông tại B
=>ΔBAC nội tiếp đường tròn đường kính AC
=>Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBAC là trung điểm của AC
=>Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBAC là M(3;3)
ΔABC vuông tại B
=>B là trực tâm của ΔABC
=>Tọa độ trực tâm của ΔABC là B(1;3)
d: A(3;1);B(1;3)
=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;3-1\right)=\left(-2;2\right)=\left(-1;1\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (1;1)
Phương trình đường thẳng AB là:
1(x-3)+1(y-1)=0
=>x-3+y-1=0
=>x+y-4=0
A(3;1); C(3;5)
\(\overrightarrow{AC}=\left(3-3;5-1\right)=\left(0;4\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-4;0)
Phương trình đường thẳng AC là:
-4(x-3)+0(y-1)=0
=>-4(x-3)=0
=>x-3=0
=>x=3
B(1;3); C(3;5)
\(\overrightarrow{BC}=\left(3-1;5-3\right)=\left(2;2\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-1;1)
Phương trình BC là:
-1(x-1)+1(y-3)=0
=>-x+1+y-3=0
=>-x+y-2=0
\(\overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\)
=>đường cao AH sẽ đi qua A(3;1) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình AH là:
2(x-3)+2(y-1)=0
=>x-3+y-1=0
=>x+y-4=0
B(1;3); M(3;3)
\(\overrightarrow{BM}=\left(3-1;3-3\right)=\left(2;0\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (0;-2)
Phương trình BM là:
0(x-01)+(-2)(y-3)=0
=>-2(y-3)=0
=>y-3=0
=>y=3
e: A(3;1) là trung điểm của NM
=>\(x_{N}+x_{M}=2\cdot3=6;y_{N}+y_{M}=2\cdot1=2\)
B(1;3) là trung điểm của MP
=>\(x_{M}+x_{P}=2\cdot1=2;y_{M}+y_{P}=2\cdot3=6\)
C(3;5) là trung điểm của NP
=>\(x_{N}+x_{P}=2\cdot3=6;y_{N}+y_{P}=2\cdot5=10\)
\(\left(x_{N}+x_{M}\right)-\left(x_{M}+x_{P}\right)=6-2=4\)
=>\(x_{N}-x_{P}=4\)
mà \(x_{N}+x_{P}=6\)
nên \(x_{N}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5;x_{P}=6-5=1\)
\(x_{M}=2-x_{P}=2-1=1\)
\(\left(y_{N}+y_{M}\right)-\left(y_{M}+y_{P}\right)=2-6\)
=>\(y_{N}-y_{P}=-4\)
mà \(y_{N}+y_{P}=10\)
nên \(y_{N}=\frac{-4+10}{2}=\frac62=3;y_{P}=10-3=7\)
\(y_{M}+y_{P}=6\)
=>\(y_{M}=6-7=-1\)
M(1;-1); N(5;3); P(1;7)
M(1;-1); P(1;7)
=>\(\overrightarrow{MP}=\left(1-1;7+1\right)=\left(0;8\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-8;0)
Phương trình MN là:
-8(x-1)+0(y+1)=0
=>-8(x-1)=0
=>x-1=0
=>x=1
N(5;3); P(1;7)
\(\overrightarrow{NP}=\left(1-5;7-3\right)=\left(-4;4\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (1;1)
Phương trình NP là:
1(x-5)+1(y-3)=0
=>x-5+y-3=0
=>x+y-8=0
...
\(\overrightarrow{GE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)