bạn kéo dài tia AM và lấy H sao cho AM=HM 

bạn xét tam giác AMB= tam giác CMH =>AB=CH

xét tam giác ACH coa AH<AC +CH=> AH<AC+AB =>AH/2<AC+AB/2=>AM<b+c/2

A B C M N c b

Trên tia đối AM lấy N sao cho AM = MN

Xét tam giác BMN và tam giác AMC

Ta có: NM= MA (gt)

\(B\widehat{M}N=A\widehat{MC}\)(đối đỉnh)

BM = MC (M là trung điểm BC)

=> tam giác BMN = tam giác CMA (c-g-c)

=> BN = AC ; MN = MA (tương ứng)

=> NA = 2MA

Trong tam giác ABN, ta có: 

AN < AB + BN (bất đẳng thức)

hay 2MA < AB + AC

MA < (AB+AC)/2

Vậy \(MA< \frac{c+b}{2}\)

A B C M D

Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho AM=MD

Xét tam giác AMB VÀ TAM GIÁC DMC có

MB=MC(gt)

AM=MD(cách dựng)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(ĐÓI ĐỈNH)

\(\Rightarrow\)Tam giác AMB=Tam giác BMC(c-g-c)

\(\Rightarrow\)AB=CD(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ACD có

AD<CD+AC(bất đẳng thức tam giác)

\(\Rightarrow\)AD<AB+AC(VÌ AB=CD)

Mà AD=AM+MD=2AM

\(\Rightarrow2AM< AB+AC\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)(ĐPCM)

Kẻ đoạn thẳng AM

Trên tia AM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của AK

=> MA = MK = AK/2 => 2AM = AK

M là trung điểm của BC ( gt ) => MB = MC

Xét tam giác AMB và tam giác KMC có :

MA = MK ( cmt )

AMB = KMC ( đối đỉnh )

MB = MC ( cmt )

Do đó tam giác AMB = tam giác KMC ( c . g . c )

=> AB = CK ( 2 cạnh tương ứng )

CÓ AK < AC + CK ( bất đẳng thức trong tam giác )

hay 2AM < AC + AB

=> AM < \(\frac{AC+AB}{2}\)( dpcm )

Vậy ...

A B C M D

Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:

\(BM=CM\left(gt\right)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

\(MA=MD\) (cách vẽ)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta DCM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AB=CD\)(2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ACD\) có: \(AD< AC+CD\)

\(\Rightarrow2AM< AC+AB\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta MAB\)có: \(AM>AB-BM\)

Xét \(\Delta MAC\)có: \(AM>AC-MC\)

\(\Rightarrow AM+AM>AB-BM+AC-MC\)

\(\Rightarrow2AM>AB+AC-\left(BM+CM\right)\)

\(\Rightarrow2AM>AB+AC-BC\)

\(\Rightarrow AM>\frac{AB+AC-BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{AB+AC-BC}{2}< AM< \frac{AB+AC}{2}\left(đpcm\right)\)

- CM : AM < (AB+BC):2

Tren tia AM lay D / M la trung diem AD

cm tam giac ABM = tam giac MCD ( c-g-c)--> AB= CD

ta co : AD<AC+CD ( bdt trong tam giac ACD)

ma AD=2AM ( M la trung diem AD) va AB= CD ( cmt)

nen 2AM< AC+AB

--> AM < ( AC+AB):2

- cm ( AB+AC-BC):2 < AM

ta co : AB < AM+BM ( bdt trong tam giac ABM )

            AC< AM+MC ( bdt trong tam giac AMC )

==> AB+AC < AM+BM+AM+MC

----> A

Hình tự vẽ nha bạn

a)Xét tam giác ABM và tam giác CEM có:

BM=MC(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{CME}\)(2 góc đối đỉnh)

AM=ME(gt)

\(\Rightarrow\)tam giác AMB=tam giác CME(c-g-c)

=> AB=CE(2 cạnh tương ứng)

Vì M là trung điểm của AE \(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}AE\)

b) Bất đẳng thức đối với tam giác ACE là: AC+CE>AE

                                                             CE - AC < AE

Vì AB=CE(theo chứng minh trên) => AC+AB>AE \(\Rightarrow\frac{AC+AB}{2}>\frac{AE}{2}=AM\)(1)

                                                    AB - AC < AE \(\Rightarrow\frac{AB-AC}{2}< \frac{AE}{2}=AM\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{AB-AC}{2}< AM< \frac{AB+AC}{2}\)

trong sbt toán 7 tập 2 bạn tham khảo được đó

Bài 1: sửa đề : a) CM: DC//AB

a)xét tam giác NAM và tam giác NCD có:

góc ANM= góc CND

AN=NC

MN=ND

=> △NAM=△NCD(c.g.c)

=> \(DC=AM\) và góc DCN= góc NAM=> DC//AM

=> \(DC=\frac12AB\) và DC//AB

b) xét tam giác NAD và tam giác NCM có:

góc AND= góc CNM( đối đỉnh)

MN=ND

NA=NC

=> △NAD=△NCM(c.g.c)

=> AD=MC

c) xét tam giác DCM và tam giác BMC có:

góc DCM= góc BMC( so le trong)

MB=DC= MA

MC chung

=> △DCM=△BMC(c.g.c)

=> góc DMC= góc MCB và DM=BC

=> MN=\(\frac12BC\) và MN//BC

Bài 2:

a) xét tam giác ADE và tam giác ABC có:

AD=AB

AE=AC

góc DAE= góc BAC= 90 độ

=> △ADE=△ABC(c.g.c)

=> DE=BC

b) ta có △ADE=△ABC

=> góc BEH= góc ACB

ta có góc HBE= góc ABC( đối đỉnh)

xét tam giác ABC:

=> góc ABC+ góc ACB= 90 độ

=> góc HBE+ góc HEB= 90 độ

=> góc BHE= 90 độ

=> BC⊥DE

c) ta có DN=\(\frac12DE\)

\(BM=\frac12BC\)

mà DE=BC

=> DN=BM

xét tam giác ABM và tam giác ADN có:

AB=AD

DN=BM

góc ABM= góc ADN( từ câu a)

=> △ABM=△ADN

=> AN=AM và góc DAN= góc BAM

mà góc DAN+ góc NAE= 90 độ

=> góc BAM+ góc NAE= 90 độ= góc NAM

=> AN⊥AM

Bài 3:

a) xét tam giác AMC và tam giác NMB có:

góc ACM= góc MBN( so le trong)

MC=BM

góc AMC= góc NMB( đối đỉnh)

=> △AMC=△NMB(g.c.g)

=> BN=CA

b) ta có góc BAC+góc DAB+ góc DAE+ gócEAC= 360 độ

thay góc DAB= 90 độ và góc EAC= 90 độ ta có:

góc BAC+ góc DAE= 360 độ- 90 độ- 90 độ

= 180 độ

c)

ta có △MBN=△MAC

=> MA=MN

=> \(MA=\frac12AN\)

ta có góc CAB+ góc ABN= 180 độ( hai góc trong cùng phía bù nhau)

mà góc BAC+ góc DAE= 180 độ

=> góc DAE= góc ABN

xét tam giác EAD và tam giác NBA có:

góc ABN= góc DAE

AB=AD

AE=BN=AC

=> △EAD=△NBA

=> DE=AN

=> \(AM=\frac12AN=\frac12DE\left(đpcm\right)\)