a)Xét tam giác APM có: AM < AP + PM (tổng 2 cạnh của 1 tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại) 

Xét tam giác ANM có: AM < AN + NM (tổng 2 cạnh của 1 tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại) 

=> 2AM < AP + PM + AN +NM (cộng vế với vế) (1) 

Lại có: AP = MN (t/c đường trung bình của tam giác ABC) (2) 

PM = AN (t/c đường trung bình của tam giác ABC) (3) 

Từ (1),(2),(3) => 2AM < 2AP + 2AN 

<=> 2AM < AB + AC (Do CP và BN là đường trung tuyến của tam giác ABC) 

<=> AM < 1/2 (AB+AC) (chia cả hai vế cho 2) 

b) 
* CM tương tự: 

-BN < 1/2 (AB+AC) 

-CP < 1/2 (AC+CB) 

AM < 1/2 (AB+AC) 

=> AM + BN + CP < 1/2 (AB+AC+AB+BC+AC+BC) 

<=>AM + BN + CP < AB+AC+BC (3) 
 

* Có: BG+GC > BC (Xét tam giác BGC) 

- GC+AG > AC (Xét tam giác CGA) 

- AG+BG > AB (Xét tam giác AGB) 

=> 2GB+2GC+2GA > AB+AC+BC 

<=>2.2/3BN + 2.2/3PC + 2.2/3AM > AB+AC+BC (t/c đường trung tuyến trong tam giác ABC) 

<=>4/3 (BN + PC + AM) > AB+AC+BC 

<=>BN+PC+AM > 3/4( AB+AC+BC ) (nhân cả hai vế với 3/4) (4) 

Từ (3),(4) => 3/4(AB+AC+BC) < AM+BN+CP < AB+AC+BC

♥Tomato♥

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pythagore:

\(a^2=b^2+c^2\).

Vì M là trung điểm cạnh huyền BC nên:

\(AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac a2\).

Vì N là trung điểm AC nên \(AN=\dfrac b2\).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABN:

\(BN^2=AB^2+AN^2\)

\(=c^2+\dfrac{b^2}{4}\)

Suy ra \(BN=\dfrac{\sqrt{4c^2+b^2}}{2}\).

Vì P là trung điểm AB nên \(AP=\dfrac c2\).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ACP:

\(CP^2=AC^2+AP^2\)

\(=b^2+\dfrac{c^2}{4}\)

Suy ra \(CP=\dfrac{\sqrt{4b^2+c^2}}{2}\).