Xét ΔBAD có BO là phân giác

nên \(\frac{OA}{OD}=\frac{BA}{BD}\)

Xét ΔCBE có CO là phân giác

nên \(\frac{OB}{OE}=\frac{CB}{CE}\)

Xét ΔAFC có AO là phân gíac

nên \(\frac{OC}{OF}=\frac{AC}{AF}\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{BA}{BD}=\frac{AC}{CD}\)

=>\(\frac{OA}{OD}=\frac{BA}{BD}=\frac{AC}{CD}\)

Xét ΔABC có BE là phân giác

nên \(\frac{CB}{CE}=\frac{BA}{AE}\)

=>\(\frac{OB}{OE}=\frac{CB}{CE}=\frac{BA}{AE}\)

Xét ΔABC có CF là phân giác

nên \(\frac{AC}{AF}=\frac{BC}{BF}\)

=>\(\frac{OC}{OF}=\frac{AC}{AF}=\frac{BC}{BF}\)

Đặt X=\(\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}\)

\(=\frac{BA}{BD}\cdot\frac{BC}{CE}\cdot\frac{AC}{AF}\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AC}=\frac{9}{12}=\frac34\)

=>\(\frac{BD}{DC+BD}=\frac{3}{4+3}\)

=>\(\frac{BD}{BC}=\frac37\)

=>\(BD=16\cdot\frac37=\frac{48}{7}\) (cm)

Xét ΔABC có BE làphân giác

nên \(\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}=\frac{16}{9}\)

=>\(\frac{EC}{EA+EC}=\frac{16}{9+16}\)

=>\(\frac{CE}{CA}=\frac{16}{25}\)

=>\(CE=12\cdot\frac{16}{25}=\frac{192}{25}\) (cm)

Xét ΔABC có CF là phân giác

nên \(\frac{AF}{FB}=\frac{CA}{CB}=\frac{12}{16}=\frac34\)

=>\(\frac{AF}{FB+AF}=\frac{3}{4+3}\)

=>\(\frac{AF}{AB}=\frac37\)

=>\(AF=9\cdot\frac37=\frac{27}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\)

\(X=\frac{BA}{BD}\cdot\frac{BC}{CE}\cdot\frac{AC}{AF}\)

\(=\left(9:\frac{48}{7}\right)\cdot\left(16:\frac{192}{25}\right)\) *\(\left(12:\frac{27}{7}\right)\)

\(=9\cdot\frac{7}{48}\cdot16\cdot\frac{25}{192}\cdot12\cdot\frac{7}{27}=9\cdot\frac73\cdot\frac{25}{192}\cdot4\cdot\frac79=7\cdot7\cdot25\cdot\frac{4}{192\cdot3}=49\cdot25\cdot\frac{1}{48\cdot3}=\frac{1225}{144}\)

B C D E F A O

Đặt \(S_{BOC}=x^2,S_{AOC}=y^2,S_{AOB}=z^2\) \(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=x^2+y^2+z^2\)

Ta có : \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{AO+OD}{OD}=1+\frac{AO}{OD}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2}=1+\frac{y^2+z^2}{x^2}\)

\(\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac{y^2+z^2}{x^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{AO}{OD}}=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}\)

Tương tự ta có \(\sqrt{\frac{OB}{OE}}=\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y};\sqrt{\frac{OC}{OF}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{z^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)

\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y}\ge\frac{x+y}{\sqrt{2}z}+\frac{y+z}{\sqrt{2}x}+\frac{x+z}{\sqrt{2}y}\)

           \(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow S_{BOC}=S_{AOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)

\(\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\)O là trọng tâm của tam giác ABC

Vậy \(MinP=3\sqrt{2}\) khi O là trọng tâm của tam giác ABC

tam giác BAK và tam giác BAO có chung đường cao kẻ từ B xuống cạnh đối diện 

=>\(\dfrac{OA}{AK}=\dfrac{SAOB}{SBKA}=\dfrac{SAOC}{SCAK}\)

sư dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\dfrac{OA}{AK}=\dfrac{SAOB+SAOC}{SBKA+SCAK}=\dfrac{SAOB+SAOC}{SABC}\)

cmtt với \(\dfrac{OB}{BE}\)và\(\dfrac{OC}{CF}\)ta có \(\dfrac{OB}{BE}\)=\(\dfrac{SBAO+SOBC}{SABC}\),\(\dfrac{OC}{CF}\)=\(\dfrac{SOAC+SBAO}{SABC}\)

=>\(\dfrac{OA}{AK}+\dfrac{OB}{BE}+\dfrac{OC}{CF}=\dfrac{2\left(SOAB+SOAC+SOBC\right)}{SABC}=\dfrac{2SABC}{SABC}=2\)

=>ĐPCM

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(AD=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\frac{BAC}{2}\right)\)

\(=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos45=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sqrt2}{AB+AC}\)

=>\(\frac{\sqrt2}{AD}=\frac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

a)  A B C O D

Ta có: \(\frac{OD}{AD}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}};\frac{OE}{BE}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}};\frac{OF}{CF}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(ĐPCM\right)\)

b) chịu

b) Gợi ý nhỏ: Min=64