Ta có tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên:

$AB=AC=5cm,\ BC=6cm$.

Vì $BM$ là phân giác góc $B$ nên theo định lí phân giác:

$\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{6}$.

Mà: $AM+MC=AC=5$.

Suy ra: $\dfrac{AM}{5-AM}=\dfrac{5}{6}$

$\Rightarrow 6AM=25-5AM$

$\Rightarrow 11AM=25$

$\Rightarrow AM=\dfrac{25}{11}cm$.

Vì $CN$ là phân giác góc $C$ nên:

$\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{5}{6}$.

Mà: $AB=5$.

Suy ra: $\dfrac{AN}{5-AN}=\dfrac{5}{6}$

$\Rightarrow AN=\dfrac{25}{11}cm$.

Do đó: $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{25/11}{5}=\dfrac{5}{11}$.

Suy ra: $MN\parallel BC$ và: $\triangle AMN\sim\triangle ABC$.

Vì vậy: $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{5}{11}$

$\Rightarrow MN=\dfrac{5}{11}\cdot6=\dfrac{30}{11}cm$.

Vậy: $\boxed{AM=\dfrac{25}{11}cm}$,

$\boxed{MN=\dfrac{30}{11}cm}$.

012620

410

45

a) Xét ΔABC có 

BM là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CM}{BC}\)

hay \(\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{AB}{BC}\)(1)

Xét ΔABC có 

CN là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)

nên \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{BN}{BC}\)

hay \(\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AC}{BC}\)(2)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên AB=AC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AM}{MC}\)

hay MN//BC(Đpcm)

b) Ta có: \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CM}{BC}\)(cmt)

nên \(\dfrac{AM}{5}=\dfrac{CM}{6}\)

mà AM+CM=AC(M nằm giữa A và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AM}{5}=\dfrac{CM}{6}=\dfrac{AM+CM}{5+6}=\dfrac{AC}{11}=\dfrac{5}{11}\)
Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AM}{5}=\dfrac{5}{11}\\\dfrac{CM}{6}=\dfrac{5}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{25}{11}\left(cm\right)\\CM=\dfrac{30}{11}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC có MN//BC(cmt)

nên \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}\)(Hệ quả Định lí Ta lét)

\(\Leftrightarrow\dfrac{MN}{6}=\dfrac{25}{11}:5=\dfrac{25}{11}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{11}\)

hay \(MN=\dfrac{30}{11}\left(cm\right)\)

c) Nửa chu vi của ΔABC là:

\(P_{ABC}=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{5+5+6}{2}=\dfrac{16}{2}=8\left(cm\right)\)

Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\sqrt{8\cdot\left(8-5\right)\cdot\left(8-5\right)\cdot\left(8-6\right)}=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=\sqrt{16\cdot9}=4\cdot3=12\left(cm^2\right)\)

Ta có: ΔANM∼ΔABC(gt)

nên \(\dfrac{S_{ANM}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AM}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{5}{11}\right)^2=\dfrac{25}{121}\)

\(\Leftrightarrow S_{ANM}=\dfrac{25}{121}\cdot12=\dfrac{300}{121}\left(cm^2\right)\)