Giao điểm của \(d_1;d_2\) là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}5x+4y-1=0\\8x+y-7=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Đây là đỉnh A hoặc B (do tọa độ khác tọa độ C)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(A\left(1;-1\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường cao AH ứng với BC có pt là 5x+4y-1=0

Do AH vuông góc BC nên BC nhận (4;-5) là 1 vtpt

Phương trình BC: 

\(4\left(x-3\right)-5\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow4x-5y+13=0\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(2;6\right)=2\left(1;3\right)\Rightarrow\) AC nhận (3;-1) là 1 vtpt

Phương trình AC:

\(3\left(x-1\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow3x-y-4=0\)

B thuộc BC nên tọa độ có dạng: \(\left(b;\dfrac{4b+13}{5}\right)\)

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{b+3}{2};\dfrac{2b+19}{5}\right)\)

M thuôc trung tuyến \(d_2\) qua A nên:

\(8\left(\dfrac{b+3}{2}\right)+\left(\dfrac{2b+19}{5}\right)-7=0\) \(\Rightarrow b=-2\)

\(\Rightarrow B\left(-2;1\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-3;2\right)\)

Phương trình AB: \(2\left(x+2\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+3y+1=0\)

Bổ sung đề: đỉnh A(1;3)

Khi x=1 và y=3 thì \(x-2y+1=1-2\cdot3+1=2-6=-4<>0\) ; y-1=3-1=2<>0

=>A không thuộc d1 và d2

Giả sử d1 là phương trình đường trung tuyến kẻ từ B, d2 là phương trình đường trung tuyến kẻ từ C

=>C(c;1)

Gọi M là trung điểm của AC

Tọa độ M là: \(\begin{cases}x=\frac{c+1}{2}\\ y=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\end{cases}\)

Thay tọa độ của M vào d1, ta được:

\(\frac{c+1}{2}-2\cdot2+1=0\)

=>\(\frac{c+1}{2}=4-1=3\)

=>c+1=6

=>c=5

=>C(5;1)

B thuộc đường trung tuyến BM

=>B thuộc (d1)

=>B(2b-1;b)

Gọi N là trung điểm của AB

Tọa độ N là:

\(\begin{cases}x=\frac{2b-1+1}{2}=\frac{2b}{2}=b\\ y=\frac{b+3}{2}\end{cases}\)

Thay x=b và y=(b+3)/2 vào (d2), ta được:

\(\frac{b+3}{2}-1=0\)

=>b+1=0

=>b=-1

=>B(-3;-1)

A(1;3); B(-3;-1)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3-1;-1-3\right)=\left(-4;-4\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (1;-1)

Phương trình đường thẳng AB là:

1(x-1)+(-1)(y-3)=0

=>x-1-y+3=0

=>x-y+2=0

A(1;3); C(5;1)

\(\overrightarrow{AC}=\left(5-1;1-3\right)=\left(4;-2\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (1;2)

Phương trình đường thẳng AC là:

1(x-1)+2(y-3)=0

=>x-1+2y-6=0

=>x+2y-7=0

B(-3;-1); C(5;1)

\(\overrightarrow{BC}=\left(5+3;1+1\right)=\left(8;2\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-1;4)

Phương trình BC là:

-1(x-5)+4(y-1)=0

=>-x+5+4y-4=0

=>-x+4y+1=0

Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\) tọa độ G là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+7y-10=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

Gọi D là trung điểm BC, theo tính chất trọng tâm:

\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{3}\left(x_D-1\right)=-\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}\left(y_D-3\right)=-\dfrac{5}{3}\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Do B thuộc BM nên tọa độ có dạng: \(B\left(10-7b;b\right)\)

Do D là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_D-x_B=7b-9\\y_C=2y_D-y_B=1-b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(7b-9;1-b\right)\)

Do C thuộc CN nên:

\(7b-9-2\left(1-b\right)+2=0\Rightarrow b=1\)

\(\Rightarrow B\left(3;1\right)\)

Biết tọa độ 2 điểm B; D thuộc BC, bây giờ có thể dễ dàng viết pt BC

BC : x-4y-1=0, CA : x+2y-7=0 và AB : x-y+2=0

Cho tam giác abc có tọa độ A(-2;3) pt đường trung tuyến BM 2x-y+1=0 và CN x+y-4=0 M,N lần lượt là trung điểm AC và AB .TÌM tọa độ B

1.

Do A không thuộc hai đường trung tuyến đã cho nên giả sử đường trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là \(2x-y+1=0;x+y-4=0\)

Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\x+y-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\Rightarrow G=\left(1;3\right)\)

Gọi M là trung điểm BC, ta có \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+3=\dfrac{2}{3}\left(x_M+2\right)\\3-3=\dfrac{2}{3}\left(y_M-3\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=4\\y_M=3\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(4;3\right)\)

Gọi \(N=\left(m;2m+1\right)\) là trung điểm AC \(\Rightarrow C=\left(2m+2;4m-1\right)\)

Mà C lại thuộc CG nên \(2m+2+4m-1-4=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow C=\left(3;1\right)\)

Phương trình đường thẳng BC:

\(\dfrac{x-4}{3-4}=\dfrac{y-3}{1-3}\Leftrightarrow2x-y-5=0\)

2.

1.

Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-5y+1=0\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow G=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)

Gọi I là trung điểm BC, ta có \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{3}-1=\dfrac{2}{3}\left(x_I-1\right)\\\dfrac{1}{3}-2=\dfrac{2}{3}\left(y_I-2\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{1}{2}\\y_I=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)

Gọi \(M=\left(5m-1;m\right)\) \(\Rightarrow C=\left(10m-3;2m-2\right)\)

Mà C lại thuộc CN nên \(10m-3+2m-2-1=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow C=\left(2;-1\right)\)

Phương trình đường thẳng BC:

\(\dfrac{x-2}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{y+1}{-1+\dfrac{1}{2}}\Leftrightarrow x+3y+1=0\)

Phương trình đường cao đi qua A có dạng là x+2y-13=0

=>Phương trình BC có dạng là 2x-y+c=0

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}x+y-9=0\\ x+2y-13=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+y=9\\ x+2y=13\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x+2y-x-y=13-9\\ x+y=9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=4\\ x=9-4=5\end{cases}\)

=>A(5;4)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}x+y-9=0\\ 7x+5y-49=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+y=9\\ 7x+5y=49\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}7x+7y=63\\ 7x+5y=49\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}7x+7y-7x-5y=63-49\\ x+y=9\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2y=14\\ x+y=9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=7\\ x=9-7=2\end{cases}\)

=>B(2;7)

Thay x=2 và y=7 vào 2x-y+c=0, ta được:

\(2\cdot2-7+c=0\)

=>4-7+c=0

=>c-3=0

=>c=3

=>BC: 2x-y+3=0

Phương trình đường cao đi qua B có dạng là 7x+5y-49=0

=>Phương trình AC có dạng là 5x-7y+c=0

THay x=5 và y=4 vào phương trình AC, ta được:

\(5\cdot5-7\cdot4+c=0\)

=>c+25-28=0

=>c=3

=>AC: 5x-7y+3=0

Tọa độ C là:

\(\begin{cases}2x-y+3=0\\ 5x-7y+3=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x-y=-3\\ 5x-7y=-3\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}5x-7y=2x-y\\ 2x-y=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3x=6y\\ 2x-y=-3\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=2y\\ 2\cdot2y-y=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3y=-3\\ x=2y\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-1\\ x=-2\end{cases}\)

=>C(-2;-1)

AB: x+y-9=0

=>Phương trình đường cao đi qua C sẽ có dạng là x-y+c=0

THay x=-2 và y=-1 vào x-y+c=0, ta được:

-2-(-1)+c=0

=>-2+1+c=0

=>-1+c=0

=>c=1

=>Phương trình đường cao đi qua C là x-y+1=0

+) Phương trình đường cao qua B : 2x - y + 1 = 0 

=> Phương trình AC có dạng : x + 2y + c = 0 

Vì A ( 2; -1 ) thuộc AC => 2 + 2 ( -1 ) + c = 0 => c = 0

=> Phương trình AC: x + 2y = 0 

=> Tọa độ điểm C thỏa mãn phương trình AC và đường cao qua C 

nên là nghiệm của hệ pt: \(\hept{\begin{cases}x+2y=0\\3x+y+2=0\end{cases}}\)<=> C ( -4/5; 2/5) 

+) Phương trình đường cao qua B : 3x + y + 2 = 0 

=> Phương trình AB có dạng : x - 3y + b = 0 

Vì A ( 2; -1 ) thuộc AB => 2 - 3 ( -1 ) + b= 0 => c = -5

=> Phương trình AB: x -3y -5 = 0 

=> Tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình AB và đường cao qua CB

nên là nghiệm của hệ pt: \(\hept{\begin{cases}2x-y+1=0\\x-3y-5=0\end{cases}}\)<=> C ( -8/5; -11/5) 

+) M là trung điêm BC => M ( -6/5; -9/10 ) 

Mà A ( 2; -1) 

=> \(\overrightarrow{MA}=\left(\frac{16}{5};-\frac{1}{10}\right)\)

=> MA có véc tơ pháp tuyến: ( 1/10; 16/5)

=> Viết phương trình MA : 1/10 ( x- 2 ) + 16/5 ( y+ 1 ) = 0 

<=> x + 32y+ 30 = 0