Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\x-2y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(0;-1\right)\)
Gọi vtpt của đường thẳng CM (cũng là đường cao kẻ từ C) có tọa độ \(\left(a;b\right)\)
H là chân đường cao kẻ từ B
\(cos\widehat{HBC}=\dfrac{\left|1.1+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
\(\Rightarrow cos\widehat{MCB}=cos\widehat{HBC}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}\left|a+b\right|\Leftrightarrow a^2+b^2=5\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+5ab+2b^2=0\Leftrightarrow\left(a+2b\right)\left(2a+b\right)=0\)
Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(2;-1\right)\\\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\) (trường hợp (1;-2) loại do song song BH)
\(\Rightarrow\) Phương trình đường cao kẻ từ C:
\(2\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-3=0\)
Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(...\right)\)
Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow\) tọa độ N
Tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AN là trung tuyến đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow\) Đường thẳng AN vuông góc BC \(\Rightarrow\) nhận (1;-1) là 1 vtpt và đi qua N
\(\Rightarrow\) Phương trình AN
Đường thẳng AB vuông góc CM nên nhận (1;2) là 1 vtpt
\(\Rightarrow\) Phương trình AB (đi qua B và biết vtpt)
\(\Rightarrow\) Tọa độ A là giao điểm AB và AN
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 4} \right)\)\( \Rightarrow \)VTPT của đường thẳng BC là \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = (4;3)\)
PT đường thẳng BC qua \(B(1;2)\), nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = (4;3)\) làm VTPT là:
\(4(x - 1) + 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 10 = 0\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 4} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} = 5\)
\(d(A,BC) = \frac{{\left| {4.( - 1) + 3.3 - 10} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^3}} }} = 1\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.d(A,BC).BC = \frac{1}{2}.1.5 = \frac{5}{2}\)
c) Phương trình đường tròn tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC có bán kính \(R = d(A,BC) = 1\) là:
\({(x + 1)^2} + {(y - 3)^2} = 1\)
a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)
\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)
=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)
=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)
\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)
=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)
=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)
b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:
\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)
c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC và BH⊥AC
=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)
\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)
\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
=>-6(x+2)+2(y+1)=0
=>-3(x+2)+y+1=0
=>-3x-6+y+1=0
=>y-3x-5=0
=>y=3x+5
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)
\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)
=>1(x-5)+6(y-3)=0
=>x-5+6y-18=0
=>x+6y-23=0
=>x+6y=23
=>x+6(3x+5)=23
=>x+18x+30=23
=>19x=-7
=>x=-7/19
=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)
=>H(-7/19;74/19)
d: AH⊥BC
nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình đường cao AH là:
1(x-5)+6(y-3)=0
=>x-5+6y-18=0
=>x+6y-23=0
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-6;1)
Phương trình BC là:
-6(x+2)+1(y+1)=0
=>-6x-12+y+1=0
=>-6x+y-11=0
=>y=6x+11
x+6y-23=0
=>x+6(6x+11)-23=0
=>x+36x+66-23=0
=>37x=-43
=>\(x=-\frac{43}{37}\)
=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)
=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)
e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)
\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)
\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)
Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)
\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)
=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)
Diện tích tam giác BAC là:
\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)
\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)
a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)
\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)
=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)
=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)
\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)
=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)
=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)
b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:
\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)
c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC và BH⊥AC
=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)
\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)
\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
=>-6(x+2)+2(y+1)=0
=>-3(x+2)+y+1=0
=>-3x-6+y+1=0
=>y-3x-5=0
=>y=3x+5
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)
\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)
=>1(x-5)+6(y-3)=0
=>x-5+6y-18=0
=>x+6y-23=0
=>x+6y=23
=>x+6(3x+5)=23
=>x+18x+30=23
=>19x=-7
=>x=-7/19
=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)
=>H(-7/19;74/19)
d: AH⊥BC
nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình đường cao AH là:
1(x-5)+6(y-3)=0
=>x-5+6y-18=0
=>x+6y-23=0
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-6;1)
Phương trình BC là:
-6(x+2)+1(y+1)=0
=>-6x-12+y+1=0
=>-6x+y-11=0
=>y=6x+11
x+6y-23=0
=>x+6(6x+11)-23=0
=>x+36x+66-23=0
=>37x=-43
=>\(x=-\frac{43}{37}\)
=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)
=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)
e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)
\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)
\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)
Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)
\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)
=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)
Diện tích tam giác BAC là:
\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)
\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)
a: B(4;1); C(1;2)
=>\(\overrightarrow{BC}=\left(1-4;2-1\right)=\left(-3;1\right)\)
=>Vecto pháp tuyến là (1;3)
Phương trình đường thẳng BC là:
1(x-4)+3(y-1)=0
=>x-4+3y-3=0
=>x+3y-7=0
b: AH⊥BC
=>AH sẽ đi qua A(2;0) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(-3;1\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình đường cao AH là:
-3(x-2)+1(y-0)=0
=>-3x+6+y=0
=>y=3x-6
x+3y-7=0
=>x+3(3x-6)-7=0
=>x+9x-18-7=0
=>10x=25
=>x=2,5
=>y=3x-6=3*2,5-6=7,5-6=1,5
=>H(2,5;1,5)
A(2;0); H(2,5;1,5)
=>\(AH=\sqrt{\left(2,5-2\right)^2+\left(1,5-0\right)^2}=\sqrt{0,5^2+1,5^2}=\sqrt{0,25+2,25}=\sqrt{2,5}=\sqrt{\frac52}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
\(BC=\sqrt{\left(-3\right)^2+1^2}=\sqrt{10}\)
Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot\frac{\sqrt{10}}{2}\cdot\sqrt{10}=\frac{10}{4}=\frac52\)
c: A' đối xứng A qua BC
=>BC là đường trung trực của A'A
=>BC⊥A'A
mà BC⊥AH
và A'A và AH có điểm chung là A
nên A,H,A' thẳng hàng
=>H là trung điểm của A'A
A(2;0); H(2,5;1,5); A'(x;y)
H là trung điểm của A'A
=>\(\begin{cases}x+2=2\cdot2,5=5\\ y+0=2\cdot1,5=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=3\\ y=3\end{cases}\)
=>A'(3;3)