Hướng dẫn: 

Qua đường phân giác trong góc B lấy điểm B' đối xứng với A => B' thuộc BC  và tìm được tọa độ B' 

Qua đường phân giác trong góc C lấy điểm C' đối xứng với A => C' thuộc BC và tìm được tọa độ C' 

=> Phương trình BC đi qua B' và C' .

a: Gọi H là trực tâm của ΔABC

Tọa độ H là:

\(\begin{cases}7x-2y-1=0\\ 2x-7y-6=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}7x-2y=1\\ 2x-7y=6\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}14x-4y=2\\ 14x-49y=42\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}14x-4y-14x+49y=2-42\\ 2x-7y=6\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}45y=-40\\ 2x=7y+6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-\frac89\\ 2x=7\cdot\frac{-8}{9}+6=\frac{-56+54}{9}=-\frac29\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-\frac89\\ x=-\frac19\end{cases}\)

=>H(-1/9;-8/9)

BH: 7x-2y-1=0

=>AC: 2x+7y+c=0

Thay x=3 và y=-4 vào 2x+7y+c=0, ta được:

2*3+7*(-4)+c=0

=>c+6-28=0

=>c-22=0

=>c=22

=>AC: 2x+7y+22=0

Tọa độ C là:

\(\begin{cases}2x+7y+22=0\\ 2x-7y-6=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+7y=-22\\ 2x-7y=6\end{cases}\)

=>2x+7y+2x-7y=-22+6 và 2x-7y=6

=>4x=-16 và 7y=2x-6

=>x=-4 và 7y=2*(-4)-6=-8-6=-14

=>x=-4 và y=-2

=>C(-4;-2)

CH: 2x-7y-6=0

=>AB: 7x+2y+b=0

Thay x=3 và y=-4 vào 7x+2y+b=0, ta được:

\(7\cdot3+2\cdot\left(-4\right)+b=0\)

=>b+21-8=0

=>b+13=0

=>b=-13

=>AB: 7x+2y-13=0

Tọa độ B là:

7x+2y-13=0 và 7x-2y-1=0

=>7x+2y-13+7x-2y-1=0

=>14x-14=0

=>14x=14

=>x=1

7x+2y-13=0

=>7*1+2y-13=0

=>2y-6=0

=>y=3

=>B(1;3)

B(1;3); C(-4;-2)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(-4-1;-2-3\right)=\left(-5;-5\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (1;-1)

Phương trình BC là:

1(x-1)+(-1)(y-3)=0

=>x-1-y+3=0

=>x-y+2=0

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\x-2y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(0;-1\right)\)

Gọi vtpt của đường thẳng CM (cũng là đường cao kẻ từ C) có tọa độ \(\left(a;b\right)\)

H là chân đường cao kẻ từ B

\(cos\widehat{HBC}=\dfrac{\left|1.1+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{MCB}=cos\widehat{HBC}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+1^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}\left|a+b\right|\Leftrightarrow a^2+b^2=5\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+5ab+2b^2=0\Leftrightarrow\left(a+2b\right)\left(2a+b\right)=0\)

Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(2;-1\right)\\\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\) (trường hợp (1;-2) loại do song song BH)

\(\Rightarrow\) Phương trình đường cao kẻ từ C:

\(2\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-3=0\)

Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(...\right)\)

Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow\) tọa độ N

Tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AN là trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow\) Đường thẳng AN vuông góc BC \(\Rightarrow\) nhận (1;-1) là 1 vtpt và đi qua N

\(\Rightarrow\) Phương trình AN

Đường thẳng AB vuông góc CM nên nhận (1;2) là 1 vtpt

\(\Rightarrow\) Phương trình AB (đi qua B và biết vtpt)

\(\Rightarrow\) Tọa độ A là giao điểm AB và AN

1.

\(\overrightarrow{OA}=\left(1;3\right)\Rightarrow OA=\sqrt{10}\)

Gọi I là trung điểm OA \(\Rightarrow I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)

Phương trình đường tròn đường kính OA nhận I là trung điểm và có bán kính \(R=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\):

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{2}\)

b.

Gọi 2 trung tuyến là BN và CM (với M, N là trung điểm AB và AC)

B thuộc BN nên tọa độ có dạng: \(\left(b;1\right)\)

M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(\dfrac{b+1}{2};2\right)\)

M thuộc CM nên tọa độ thỏa mãn:

\(\dfrac{b+1}{2}-4+1=0\Rightarrow b=5\Rightarrow B\left(5;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)\Rightarrow\) pt AB: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=3-t\end{matrix}\right.\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\) G là giao điểm BN và CM

Tọa độ G thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(1;1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=-3\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-3;-1\right)\)

Biết tọa độ C, A, B bạn tự viết pt 2 cạnh còn lại

2.

AB vuông góc với trung trực của AB nên nhận (2;-3) là 1 vtpt và (3;2) là 1 vtcp

Phương trình tham số:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=-3+2t\end{matrix}\right.\)

Phương trình tổng quát:

\(2\left(x+1\right)-3\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow2x-3y-7=0\)

b. Câu này tìm trung điểm của AB hay BC nhỉ? Ta chỉ có thể tìm được trung điểm BC sau khi hoàn thành câu c (nghĩa là thứ tự bài toán bị ngược)

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow\) tọa độ N thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y-7=0\\3x+2y-4=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow N\left(2;-1\right)\)

N là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_N-x_A=5\\y_B=2y_N-y_A=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(5;1\right)\)

G là trọng tâm tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=8\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(8;-4\right)\)

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{13}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)

Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

AB đi qua A (1; -1) nên nó có phương trình là

x - 1 + 2 (y + 1) = 0 hay x + 2y + 1 = 0

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M ∈ Δ, tọa độ của M có dạng

M (t ; 2t + 1) với t là số thực và \(\overrightarrow{AM}=\left(t-1;2t+2\right)\)

⇒ AM ⊥ Δ 

⇒ \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0\)

⇒ t + 1 + 2. (2t + 2) = 0

⇒ t = -1

Vậy M (- 1; - 1)

M là trung điểm của AB => Tọa độ B

Làm tương tự như thế sẽ suy ra tọa độ C

giúp em với

Đáp án B

Do AB và BC cắt nhau tại B nên toa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình

Do đó: B( 2; -1)

Tương tự: tọa độ điểm C( 1; 9)

PT các đường phân giác góc A là:

Đặt T₁(x; y) = 2x- 6y+ 7 và T₂= 12x+ 4y-3  ta có:

T₁(B). T₁(C) < 0 và T₂(B) T₂(C) >0.

Suy ra B và C nằm khác phía so với đường thẳng 2x-6y+7= 0 và cùng phía so với đường thẳng: 12x+ 4y- 3= 0.

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là: 2x- 6y+ 7= 0.