a: \(\overrightarrow{AB}=\left(-3;4\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(8;6\right)\)

Vì \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) nên ΔABC vuông tại A 

c: Tọa độ trọng tâm G là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{1-2+9}{3}=\dfrac{8}{3}\\y_G=\dfrac{2+6+8}{3}=\dfrac{16}{3}\end{matrix}\right.\)

1: \(\overrightarrow{AB}=\left(-10;-5\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;3\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(4;8\right)\)

Vì \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\) ΔABC vuông tại C

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+3^2}=3\sqrt{5}\)

\(BC=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\)

Do đó: \(S_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}=30\)

Lời giải:
Gọi $G(a,b)$ là trọng tâm tam giác. Ta có:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (1-a, 4-b)+(2-a, -3-b)+(1-a, -2-b)=(0,0)$

$\Leftrightarrow (1-a+2-a+1-a, 4-b-3-b-2-b)=(0,0)$

$\Leftrightarrow (5-3a, -1-3b)=(0,0)$

$\Rightarrow 5-3a=0; -1-3b=0$

$\Rightarrow a=\frac{5}{3}; b=\frac{-1}{3}$

b.

Để $A,B,D$ thẳng hàng thì:

$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AD}$ với $k$ là số thực $\neq 0$

$\Leftrightarrow (1,-7)=k(-2, 3m-1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{-2}=\frac{-7}{3m-1}$

$\Rightarrow m=5$

Gọi trực tâm là H

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;1\right)\)

\(\overrightarrow{AH}=\left(x-2;y-1\right)\)

Theo đề, ta có: (x-2)*1+1(y-1)=0

=>x+y-3=0

\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;3\right)\)

\(\overrightarrow{BH}=\left(x+1;y-3\right)\)

Theo đề, ta có; -2(x+1)+3(y-3)=0

=>-2x-2+3y-9=0

=>-2x+3y=11

mà x+y=3

nên x=-2/5; y=17/5

Gọi (C): \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\) là phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Theo đề, ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}2^2+1^2-4a-2b+c=0\\1+9+2a-6b+c=0\\0^2+4^2+0a-8b+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4a-2b+c=-5\\2a-6b+c=-10\\-8b+c=-16\end{matrix}\right.\)

=>a=7/10; b=23/10; c=12/5

=>x^2+y^2-7/5x-23/5x+12/5=0

=>x^2-2*x*7/10+49/100+y^2-2*x*23/10+529/100=169/50

=>(x-7/10)^2+(y-23/10)^2=169/50

=>R=13/5căn 2

a: A(2;3); B(-1;-1); C(6;0)

\(AB=\sqrt{\left(-1-2\right)^2+\left(-1-3\right)^2}=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-4\right)^2}=5\)

\(AC=\sqrt{\left(6-2\right)^2+\left(0-3\right)^2}=5\)

\(BC=\sqrt{\left(6+1\right)^2+\left(0+1\right)^2}=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt2\)

Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\) và AB=AC

nên ΔABC vuông cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=45^0\)

b:

A(2;3); D(x;y); B(-1;-1); C(6;0)

\(\overrightarrow{AD}=\left(x-2;y-3\right);\overrightarrow{BC}=\left(6+1;0+1\right)=\left(7;1\right)\)

ABCD là hình thang có CB//AD và AD=2CB

=>\(\overrightarrow{AD}=2\cdot\overrightarrow{BC}\)

=>x-2=2*7=14 và y-3=2*1=2

=>x=16 và y=5

=>D(16;5)

c: ΔABC vuông tại A

=>Trực tâm của ΔABC là A

=>Tọa độ của trực tâm H của ΔABC là H(2;3)

 Gợi ý thôi nhé.

a) Có \(AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{\left(\left(-1\right)-6\right)^2+\left(2-\left(-1\right)\right)^2}=\sqrt{58}\)

Tương tự như vậy, ta tính được AC, BC. 

 Tính góc: Dùng \(\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}\)

b) Chu vi thì bạn lấy 3 cạnh cộng lại.

 Diện tích: Dùng \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

c) Gọi \(H\left(x_H,y_H\right)\) là trực tâm thì \(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BC\\BH\perp AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\)

 Sau đó dùng: \(\overrightarrow{u}\left(x_1,y_1\right);\overrightarrow{v}\left(x_2,y_2\right)\) thì \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1x_2+y_1y_2\) để lập hệ phương trình tìm \(x_H,y_H\)

Trọng tâm: Gọi \(G\left(x_G,y_G\right)\) là trọng tâm và M là trung điểm BC. Dùng \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}\\y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}\end{matrix}\right.\) để tìm tọa độ M. 

 Dùng \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\) để lập hpt tìm tọa độ G.

Bài gì vậy ạ?

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7;1} \right),\overrightarrow {BA}  = \left( {3;3} \right)\)

\(\cos \widehat {ABC} = \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{{\left( { - 7} \right).3 + 1.3}}{{\sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2}} }} =  - \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {126^o}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7;1} \right),\overrightarrow {BA}  = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 10; - 2} \right)\)

Suy ra: \(\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {104} \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {50} \end{array}\)

Vậy chu vi tam giác ABC là: \({P_{ABC}} = 2\sqrt {26}  + 8\sqrt 2 \)

c) Để diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM thì M phải là trung điểm BC.

Vậy tọa độ điểm M là: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{ - 9}}{2}\\\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{3}{2}\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {\frac{{ - 9}}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

a: A(1;-3); B(2;-5); C(4;0); H(x;y)

\(\overrightarrow{AH}=\left(x-1;y+3\right);\overrightarrow{BC}=\left(4-2;0+5\right)=\left(2;5\right)\)

AH là đường cao của ΔABC

=>AH⊥BC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>2(x-1)+5(y+3)=0

=>2x-2+5y+15=0

=>2x+5y+13=0

=>2x+5y=-13(1)

\(\overrightarrow{BH}=\left(x-2;y+5\right);\overrightarrow{BC}=\left(2;5\right)\)

B,H,C thẳng hàng

=>\(\frac{x-2}{2}=\frac{y+5}{5}\)

=>5(x-2)=2(y+5)

=>5x-10=2y+10

=>5x-2y=20(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}2x+5y=-13\\ 5x-2y=20\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x+10y=-26\\ 25x-10y=100\end{cases}\)

=>4x+10y+25x-10y=-26+100 và 5x-2y=20

=>29x=74 và 2y=5x-20

=>x=79/24; 2y=5*79/24-20=-85/24

=>x=79/24; y=-85/48

=>H(79/24;-85/48)

c: Gọi O(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

=>OA=OB=OC

=>\(OA^2=OB^2=OC^2\) (3)

\(OA^2=\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2\)

\(OB^2=\left(x-2\right)^2+\left(y+5\right)^2\)

\(OC^2=\left(x-4\right)^2+y^2\)

(3) suy ra \(\begin{cases}\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=\left(x-2\right)^2+\left(y+5\right)^2\\ \left(x-2\right)^2+\left(y+5\right)^2=\left(x-4\right)^2+y^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2-2x+1+y^2+6y+9=x^2-4x+4+y^2+10y+25\\ x^2-4x+4+y^2+10y+25=x^2-8x+16+y^2\end{cases}\)

=>-2x+6y+10=-4x+10y+29 và -4x+10y+29=-8x+16

=>2x-4y=19 và 4x+10y=-13

=>4x-8y=38 và 4x+10y=-13

=>4x-8y-4x-10y=38+13 và 2x-4y=19

=>-18y=51 và 2x=4y+19

=>\(y=-\frac{51}{18}=-\frac{17}{6};2x=4\cdot\frac{-17}{6}+19=\frac{46}{6}\)

=>y=-17/6; x=23/6

=>H(23/6;-17/6)