A(1;-1); B(3;-3); C(6;0)

\(AB=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(-3+1\right)^2}=\sqrt8=2\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{\left(6-1\right)^2+\left(0+1\right)^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\)

\(BC=\sqrt{\left(6-3\right)^2+\left(0+3\right)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2\)

Xét ΔABC có \(BA^2+BC^2=AC^2\)

nên ΔBAC vuông tại B

=>\(S_{BAC}=\frac12\cdot BA\cdot BC=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot3\sqrt2=6\)

ko biết

ko biết thua

Chọn B.

Ta có:

Mặt khác 

Suy ra diện tích tam giác ABC là 1/2.AB.BC = 6.

a: A(2;3); B(-1;-1); C(6;0)

\(AB=\sqrt{\left(-1-2\right)^2+\left(-1-3\right)^2}=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-4\right)^2}=5\)

\(AC=\sqrt{\left(6-2\right)^2+\left(0-3\right)^2}=5\)

\(BC=\sqrt{\left(6+1\right)^2+\left(0+1\right)^2}=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt2\)

Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\) và AB=AC

nên ΔABC vuông cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=45^0\)

b:

A(2;3); D(x;y); B(-1;-1); C(6;0)

\(\overrightarrow{AD}=\left(x-2;y-3\right);\overrightarrow{BC}=\left(6+1;0+1\right)=\left(7;1\right)\)

ABCD là hình thang có CB//AD và AD=2CB

=>\(\overrightarrow{AD}=2\cdot\overrightarrow{BC}\)

=>x-2=2*7=14 và y-3=2*1=2

=>x=16 và y=5

=>D(16;5)

c: ΔABC vuông tại A

=>Trực tâm của ΔABC là A

=>Tọa độ của trực tâm H của ΔABC là H(2;3)

Ta có:  B C ​ =    ( 4 − 2 ) 2 + ​ ( 3 + ​ 4 ) 2 = 53

 Phương trình BC : Qua B  (2; -4) và nhận VTCP B C → ( ​ 2 ;    7 ) nên có VTPT n → ( ​  7 ;     − 2 ) :
  7( x -2) – 2 ( y +  4) = 0 hay 7x -  2y - 22 = 0

Khoảng cách từ A đến  BC là:

d (    A ;    B C ) = 7. ( − 1 ) − 2. ( − 1 ) − 22 7 2 + ​ ( − 2 ) 2 = 27 53

Diện tích tam giác ABC là:   S = 1 2 ​ B C . d ( A ;    B C ​ ) =   1 2 .    53 .    27 53 = 27 2

ĐÁP ÁN C.

Câu 1: Diện tích tam giác là: \(\frac{h_A.a}{2}=\frac{3.6}{2}=9\)(đvdt)

Câu 2: Diện tích tam giác là: \(\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}.4.5.\sin60^o=5\sqrt{3}\)(đvdt)

Câu 2: Ta có: \(\hept{\begin{cases}c^2=a^2+b^2-2ab.\cos C\\a^2+b^2>c^2\end{cases}\Rightarrow c^2>c^2-2ab.\cos C\Leftrightarrow2ab.\cos C>0}\)
\(\Rightarrow\cos C>0\Rightarrow C< 90^o\)
Vậy C là góc nhọn

BÀi 1: XétΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{2^2+3^2-4^2}{2\cdot2\cdot3}=\frac{4+9-16}{4\cdot3}=\frac{-3}{4\cdot3}=\frac{-1}{4}\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot cosBAC\)

\(=2\cdot3\cdot\frac{-1}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac32\)

BÀi 2:

a: A(1;-1); B(5;-3); C(2;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(5-1;-3+1\right)=\left(4;-2\right);\overrightarrow{AC}=\left(2-1;0+1\right)=\left(1;1\right)\)

Vì 4/1<>-2/1

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

\(AB=\sqrt{4^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt5\)

\(AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{\left(2-5\right)^2+\left(0+3\right)^2}=3\sqrt2\)

Chu vi tam giác ABC là:

AB+BC+AC

\(=2\sqrt5+\sqrt2+3\sqrt2=2\sqrt5+4\sqrt2\)

Xét ΔCAB có \(CA^2+CB^2=AB^2\)

nên ΔCAB vuông tại C

=>\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB=\frac12\cdot\sqrt2\cdot3\sqrt2=3\)

b: \(\overrightarrow{CM}=2\cdot\overrightarrow{AB}-3\cdot\overrightarrow{AC}\)

=>\(\begin{cases}x-2=2\cdot4-3\cdot1\\ y-0=2\cdot\left(-2\right)-3\cdot1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-2=8-3\\ y=-4-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=5+2=7\\ y=-7\end{cases}\)

=>M(7;-7)

c: ΔCAB vuông tại C

=>ΔCAB nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AB

Tọa độ I là:

\(\begin{cases}x=\frac{1+5}{2}=\frac62=3\\ y=\frac{-1+\left(-3\right)}{2}=\frac{-4}{2}=-2\end{cases}\)

=>I(3;-2)

a: Tọa độ I là trung điểm của AB là:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac12\cdot\left(3-1\right)=\frac12\cdot2=1\\ y_{I}=\frac12\cdot\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac12\cdot\left(1-1\right)=0\end{cases}\)

=>I(1;0)

Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+6\right)=\frac13\cdot8=\frac83\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(1-1+0\right)=0\end{cases}\)

=>G(8/3;0)

b: A(3;1); B(-1;-1); C(6;0)

\(AB=\sqrt{\left(-1-3\right)^2+\left(-1-1\right)^2}=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt5\)

\(AC=\sqrt{\left(6-3\right)^2+\left(0-1\right)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)

\(BC=\sqrt{\left(6+1\right)^2+\left(0+1\right)^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=7\sqrt2\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=2\sqrt5+\sqrt{10}+7\sqrt2\)

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{20+10-50}{2\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{10}}=\frac{-20}{4\sqrt{50}}=\frac{-5}{\sqrt{50}}=-\frac{1}{\sqrt2}\)

c: A(3;1); B(-1;-1); C(6;0)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-1-3;-1-1\right)=\left(-4;-2\right)=\left(2;1\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(6-3;0-1\right)=\left(3;-1\right)\)

H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥AC và CH⊥AB

=>\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\)

B(-1;-1); H(x;y); C(6;0)

=>\(\overrightarrow{BH}=\left(x+1;y+1\right);\overrightarrow{CH}=\left(x-6;y-0\right)=\left(x-6;y\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

=>3(x+1)+(-1)(y+1)=0

=>3x+3-y-1=0

=>3x-y+2=0

=>y=3x+2

\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\)

=>2(x-6)+1*y=0

=>2x-12+y=0

=>y=-2x+12

=>3x+2=-2x+12

=>5x=10

=>x=2

=>y=3x+2=3*2+2=8

=>H(2;8)