Sửa đề: BF và CE cắt nhau tại H

a) Xét (O) có 

ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C\(\in\)(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)

\(\Leftrightarrow CE\perp BE\)

\(\Leftrightarrow CE\perp AB\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AEC}=90^0\)

hay \(\widehat{AEH}=90^0\)

Xét (O) có 

ΔBFC nội tiếp đường tròn(B,F,C\(\in\)(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBFC vuông tại F(Định lí)

\(\Leftrightarrow BF\perp CF\)

\(\Leftrightarrow BF\perp AC\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AFB}=90^0\)

hay \(\widehat{AFH}=90^0\)

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{AEH}\) và \(\widehat{AFH}\) là hai góc đối

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Xét ΔABC có 

BF là đường cao ứng với cạnh AC(cmt)

CE là đường cao ứng với cạnh AB(cmt)

BF cắt CE tại H(gt)

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Định lí ba đường cao của tam giác)

\(\Leftrightarrow AH\perp BC\)

hay \(AD\perp BC\)(đpcm)

Tam giác BCD nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại D.

Suy ra: CD ⊥ AB.

Tam giác BCE nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại E.

Suy ra: BE ⊥ AC.

K là giao điểm của hai đường cao CD và BE nên K là trực tâm của tam giác ABC

Suy ra: AK ⊥ BC

Bài này dễ mà bạn. Có nhiều cách, cách nhanh nhất là dùng tứ giác nội tiếp.

Hình vẽ.

Cách 1. Ta có: \(\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó BE, CD là hai đường cao của tam giác giác ABC, cắt nhau tại K.

Vậy AK là đường cao còn lại của tam giác.

Do đó \(AK\bot BC\)

Cách 2. Nối DO là thì có DO là đường trung tuyến tam giác BDC.

Mà \(DO=R=\dfrac{1}{2}BC\) nên tam giác BDC vuông tại D.

Vậy $\widehat{BDC}=90^o.$ Tương tự $\widehat{BEC}=90^o.$

Từ đây tương tự cách 1.

Gọi O là trung điểm của BC

=>O là tâm đường tròn đường kính BC

a: Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó; ΔBFC vuông tại F

=>CF⊥AB tại F

b: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE⊥AC tại E

c: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn

Tâm K là trung điểm của AH

ta thấy BDEC đều thuộc 1 đường tròn =>tâm O sẽ cách đều 4 điểm hayOE=OD=OB=OC  Ta có tam giác BDC có OD=OB=OC(r)=1/2BC =>TAM GIÁC bdc LÀ TAM GIÁC VUÔNG hay BD vuông góc AB tương tự tam gics BEC là tam giác vuông hay BE vuông góc với AC   b> gọi tia AK lần lượt cắt các nửa  đương tròn tại H VÀ ĐỐI XỨNG VỚI kh LÀ KI => HI là dây mà K là trung điểm của HI liên hệ giữa dây và đường kính thì HI vuông góc BC hay AK vuông góc với BC

a:

Sửa đề: Chứng minh AD,BE,CF đồng quy tại I

D nằm trên đường tròn đường kính AB

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

D nằm trên đường tròn đường kính AC

=>\(\hat{ADC}=90^0\)

\(\hat{ADB}+\hat{ADC}=90^0+90^0=180^0\)

=>B,D,C thẳng hàng

Ta có: E nằm trên đường tròn đường kính AB

=>\(\hat{AEB}=90^0\)

=>BE⊥AC tại E

Ta có: F nằm trên đường tròn đường kính AB

=>\(\hat{AFC}=90^0\)

=>CF⊥AB tại F

Xét ΔABC có

AD,BE,CF là các đường cao

Do đó: AD,BE,CF đồng quy tại I

b: Xét tứ giác AFIE có \(\hat{AFI}+\hat{AEI}=90^0+90^0=180^0\)

nên AFIE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFID có \(\hat{BFI}+\hat{BDI}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFID là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEID có \(\hat{CEI}+\hat{CDI}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEID là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\hat{IFE}=\hat{IAE}\) (AEIF nội tiếp)

\(\hat{IFD}=\hat{IBD}\) (BFID nội tiếp)

mà \(\hat{IAE}=\hat{IBD}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

nên \(\hat{IFE}=\hat{IFD}\)

=>FI là phân giác của góc DFE

Ta có: \(\hat{FDI}=\hat{FBI}\) (BFID nội tiếp)

\(\hat{EDI}=\hat{ECI}\) (IECD nội tiếp)

mà \(\hat{FBI}=\hat{ECI}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)

nên \(\hat{FDI}=\hat{EDI}\)

=>DI là phân giác của góc FDE

Xét ΔDFE có

DI,FI là các đường phân giác

DI cắt FI tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF

rồi sao bạn câu hỏi là gì?:>