Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D E O F
\(\widehat{\text{AFB}}=\widehat{ADB}=90^0\)
Mà ÀB và ADB là hai góc kề cùng nhìn AB dưới hai góc bằng nhau => ÀDB nội tiếp
b) ta có \(\widehat{ACB}=\widehat{AEB}\)( cùng chắn cung AB)
\(\widehat{DFC}=\widehat{BAF}\)( trong tứ giác nội tiếp góc ngaoif tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh còn lại )
\(\Rightarrow\widehat{ACB}+\widehat{FDC}=\widehat{BAF}+\widehat{BAE}=90^0\)
\(\Rightarrow DF\perp CA\)
a) Ta có\(\widehat{ADB}=\widehat{AFB}=90độ\left(gt\right)\)
Nên tứ giác ABDF nội tiếp ( 2 đỉnh EF cùng nhìn AB với 2 góc bằng nhau)
b) Ta có \(\widehat{AEDC}=90độ\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên ΔACE vuông tại C
Xét 2 tam giác vuông ABD và ACE có
\(\widehat{ABD}=\widehat{AEC}\)(cùng chắn \(\widebat{AC}\))
Nên ΔABD ~ ΔACE
Do đó \(\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\)
Hay AB.AE=AD.AC
c) (Mình nghĩ câu này bạn ghi nhầm, theo mình thì ở đây ta phải chứng minh DF vuông góc AC)
Ta có \(\widehat{DFE}=\widehat{ABD}\)(tứ giác ABDF nội tiếp)
Mà \(\widehat{ABD}=\widehat{AEC}\)(cùng chắn \(\widebat{AC}\))
Do đó \(\widehat{DFE}=\widehat{AEC}\)
Ta lại có 2 góc này ở vị trí so le trong
Nên DF song song EC
Mà EC vuông góc AC
Suy ra DF vuông góc AC
(AB<AC) nội tiếp đường tròn 
(O) và có trực tâm H.
và KE song song với BC.
a) Tứ giác BCEF có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow BCEF\)là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{E_1}\)
\(\Delta PBE\)và \(\Delta PFC\)có: \(\widehat{EPC}\)chung; \(\widehat{E_1}=\widehat{C_1}\)
\(\Rightarrow\Delta PBE\)
\(\Delta PFC\)(g.g)
\(\Rightarrow\frac{PB}{PF}=\frac{PE}{PC}\Rightarrow PB.PC=PE.PF\)
Tứ giác BDHF có \(\widehat{BDH}=\widehat{BFH}=90^0\)(gt)
\(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=180^0\)
\(\Rightarrow\)BDHF là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)
Gọi J là trung điểm của AH. Dễ thấy \(\Delta HEF\)nội tiếp đường tròn \(\left(J;\frac{AH}{2}\right)\)
Tứ giác HEKF nội tiếp đường tròn (J)
\(\Rightarrow\widehat{F_1}=\widehat{HEK}\left(=180^0-\widehat{HFK}\right)\)
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{HEK}\)
\(\Rightarrow KE//BC\left(đpcm\right)\)
b) Tứ giác BCEF nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{HFE}\)
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow\widehat{DFE}=2\widehat{B_1}\)(1)
\(\Delta EBC\)vuông tại E, đường trung tuyến EI
\(\Rightarrow IB=IE=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta IBE\)cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{I_1}=2\widehat{B_1}\)(t/c góc ngoài của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{DFE}\)
\(\Rightarrow DIEF\)là tứ giác nội tiếp.
Dễ chứng minh được \(\Delta PDF\)\(\Delta PEI\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow PD.PI=PE.PF\)
và \(\Delta PHE\)\(\Delta PFQ\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow PE.PF=PH.PQ\)
\(\Rightarrow PD.PI=PH.PQ\Rightarrow\frac{PD}{PQ}=\frac{PH}{PI}\)
\(\Rightarrow\Delta PDH\)\(\Delta PQI\)(c.g.c)\(\Rightarrow\widehat{PHD}=\widehat{PIQ}\)
Lại có \(\widehat{PHD}=\widehat{AHQ}=\widehat{AFQ}\)
\(\Rightarrow BIOF\)là tứ giác nội tiếp.
a: Xét ΔABC có
AM,BN,CP là các đường cao
H là trực tâm
DO đó: AM,BN,CP đồng quy tại H
Xét tứ giác APHN có \(\hat{APH}+\hat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)
nên APHN là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BPNC có \(\hat{BPC}=\hat{BNC}=90^0\)
nên BPNC là tứ giác nội tiếp
b: Xét tứ giác BPHM có \(\hat{BPH}+\hat{BMH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BPHM là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CMHN có \(\hat{CMH}+\hat{CNH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CMHN là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\hat{HPN}=\hat{HAN}\) (APHN nội tiếp)
\(\hat{HPM}=\hat{HBM}\) (BPHM nội tiếp)
mà \(\hat{HAN}=\hat{HBM}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)
nên \(\hat{HPN}=\hat{HPM}\)
=>PH là phân giác của góc MPN
Ta có: \(\hat{PNH}=\hat{PAH}\) (APHN nội tiếp)
\(\hat{MNH}=\hat{MCH}\) (MCNH nội tiếp)
mà \(\hat{PAH}=\hat{MCH}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)
nên \(\hat{PNH}=\hat{MNH}\)
=>NH là phân giác của góc MNP
Xét ΔMNP có
PH,NH là các đường phân giác
PH cắt NH tại H
Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔMNP