a; Xét tứ giác CDHE có \(\hat{CDH}+\hat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CDHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CH

b: Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có

\(\hat{EHA}=\hat{DHB}\) (Hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEA~ΔHDB

=>\(\frac{HE}{HD}=\frac{HA}{HB}\)

=>\(HE\cdot HB=HD\cdot HA\)

c: Gọi O là trung điểm của AB

=>O là tâm đường tròn đường kính AB

ΔEAB vuông tại E

mà EO là đường trung tuyến

nên OE=OB

=>ΔOBE cân tại O

=>\(\hat{OEB}=\hat{OBE}\)

Gọi K là giao điểm của CH và AB

Xét ΔCAB có

AD,BE là các đường cao

AD cắt BE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔCAB

=>CH⊥AB tại K

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE

nên I là trung điểm của CH

=>IE=IH

=>ΔIEH cân tại I

=>\(\hat{IEH}=\hat{IHE}\)

=>\(\hat{IEH}=\hat{KHB}\)

\(\hat{IEH}+\hat{OEB}=\hat{IEO}\)

=>\(\hat{IEO}=\hat{KHB}+\hat{KBH}=90^0\)

=>EO⊥EI tại E

=>EI là tiếp tuyến của (O)

hay EI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

a; Xét tứ giác CDHE có \(\hat{CDH}+\hat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CDHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CH

b: Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có

\(\hat{EHA}=\hat{DHB}\) (Hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEA~ΔHDB

=>\(\frac{HE}{HD}=\frac{HA}{HB}\)

=>\(HE\cdot HB=HD\cdot HA\)

c: Gọi O là trung điểm của AB

=>O là tâm đường tròn đường kính AB

ΔEAB vuông tại E

mà EO là đường trung tuyến

nên OE=OB

=>ΔOBE cân tại O

=>\(\hat{OEB}=\hat{OBE}\)

Gọi K là giao điểm của CH và AB

Xét ΔCAB có

AD,BE là các đường cao

AD cắt BE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔCAB

=>CH⊥AB tại K

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE

nên I là trung điểm của CH

=>IE=IH

=>ΔIEH cân tại I

=>\(\hat{IEH}=\hat{IHE}\)

=>\(\hat{IEH}=\hat{KHB}\)

\(\hat{IEH}+\hat{OEB}=\hat{IEO}\)

=>\(\hat{IEO}=\hat{KHB}+\hat{KBH}=90^0\)

=>EO⊥EI tại E

=>EI là tiếp tuyến của (O)

hay EI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

a/ Xét tứ giác CDHE có :

\(\widehat{HEC}=\widehat{HDC}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{HEC}+\widehat{HDC}=180^0\)

mà đây là 2 góc đối diện

\(\Leftrightarrow\) Tứ giác \(CDHE\) nội tiếp

b/ Xét \(\Delta AHE;\Delta BDH\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHE}=\widehat{BHD}\\\widehat{AEH}=\widehat{BDH}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta AHE\infty\Delta BHD\left(g.g\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{HA}{HB}=\frac{HE}{HD}\)

\(\Leftrightarrow HA.HD=HE.HB\left(đpcm\right)\)